数据结构学习笔记——图的存储结构（邻接矩阵和邻接表）

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构学习笔记——图的存储结构（邻接矩阵和邻接表）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

目录

前言

图的常用存储结构有邻接矩阵和邻接表，另外还有十字链表、邻接多重表等等。

一、邻接矩阵

图的邻接矩阵存储结构用于表示顶点之间的相邻关系，其中通过一个一维数组存储顶点，一个二维数组存储顶点之间的相邻关系，一个顶点数为n的图的邻接矩阵是n×n（n行n列），即一个方阵，用邻接矩阵方法来表示一个图需要n2个存储空间，它只与图中的顶点数有关，其空间复杂度为O(n2)。

（一）图的邻接矩阵表示

设图G=(V，E)，若顶点是E(G)中的边，则用1标记，记为A[i][j]=1；若顶点不是E(G)中的边，则用0标记，记为A[i][j]=0。

  • ✨通过邻接矩阵存储图时，其邻接矩阵是唯一的。

例如，下面是一个无向图：

该无向图的邻接矩阵为：

  • ✨对于一个无向图，其邻接矩阵的主对角线一定为零，另外无向完全图中，其邻接矩阵的主对角线为0，其余元素都为1，其任意两个顶点之间都有边连接。

例如，下面是一个无向完全图：

其邻接矩阵表示如下：

下面是一个有向图：

其邻接矩阵表示如下：

（二）图的邻接矩阵性质

  • ✨由于邻接矩阵是方阵，所以图的顶点数等于邻接矩阵的行或列的数目。

例如以下是一个图的邻接矩阵，由于该邻接矩阵是4×4，即该图的顶点数为4。

  • ✨对于一个含有n个顶点，e条边的无向图，其邻接矩阵中元素为零的个数为n2-2e。

例如，如下这个邻接矩阵，若它是无向图，求其共有多少条边。

可知该邻接矩阵是3×3，即该图的顶点数为3，n=3，又由于是无向图，其邻接矩阵中元素为零的个数为5，由n2-2e，即5=9-2e，解得e=2，故无向图中共有2条边。

  • ✨无向图的邻接矩阵一定是对称矩阵，关于对角线对称，且主对角线一定为零（只针对简单图），而有向图的邻接矩阵不一定是对称矩阵；另外，0若一个图的邻接矩阵是对称的，则它可以是无向图或有向图。

由于无向图的邻接矩阵存在对称关系，其上三角和下三角的相同的，所以当在存储邻接矩阵时，除了对角线都为0以外，其实只需要存储上三角或下三角的数据，故只需要n(n-1)/2个存储空间。

只存储上三角或下三角的数据，即1+2+3+……+(n-1)=n(n-1)/2。

  • ✨对于无向图，顶点vi的度为其邻接矩阵中第i行（或第i列）的非零元素的个数；而有向图中，对于顶点i，邻接矩阵中第i行非零元素的个数和第i列非零元素的个数对应该顶点的出度OD(vi)和入度ID(vi)，又由于有向图中度等于出度和入度之和，即顶点vi的度为其邻接矩阵中第i行和第i列的非零元素的个数之和。
v i的度 出度 邻接矩阵的第i行非零元素个数 入度 邻接矩阵的第i列非零元素个数

若对于带权的图，即网，在有关度的运算时，只需将非零元素的个数替换成非∞元素的个数即可，例如对于无向图中，顶点vi的度为其邻接矩阵中第i行（或第i列）的非∞元素的个数。

例、设图的邻接矩阵A如下所示，求各顶点的度依次是_______。

首先，可知该邻接矩阵不对称，所以图为有向图，有向图的度为入度和出度之和，
所以各顶点的度为邻接矩阵中每行和每列之和，出度对应行，入度对应列，
即，V1=1+1+1=3，V2=1+1+1+1=4，V3=1+1=2，V4=1+1+1=3
即3，4，2，3。

  • ✨若邻接矩阵为对称矩阵，当图为有向图时，图的弧的数目等于邻接矩阵中非零元素的个数；当为无向图，则图的边数等于邻接矩阵中非零元素的一半。

（三）网的邻接矩阵表示

  • 带权的图称为网，设图G=(V，E)，若顶点vi与顶点vj之间有边，则记为A[i][j]=Wij，即对应邻接矩阵对应项中存放边的权值；若顶点vi与顶点vj不相连，两个顶点间不存在边，则用∞标记，记为A[i][j]=∞，这里的∞是一个大于所有边的权值。

例如，下面是一个无向网，带有权值：

其邻接矩阵表示如下：

例如，下面是一个有向网，带有权值：

其邻接矩阵表示如下：

邻接矩阵存储图代码

以下代码可用于求有向图或无向图的邻接矩阵，只需修改其中一句代码（详细见图的邻接矩阵建立）。

（一）图的邻接矩阵定义

可自行定义MAXSIZE，即顶点数目的最大值，顶点的数据类型为char类型，边的数据类型为int类型，如下代码：

#define MAXSIZE 100
typedef struct 
	int n,e;					//图的顶点数目、图的边数目
	char V[MAXSIZE];			//一维数组，存储顶点
	int E[MAXSIZE][MAXSIZE];	//二维数组，边的邻接矩阵
 Graph;

（二）初始化邻接矩阵

初始化邻接矩阵，将邻接矩阵中的所有元素都置为0，通过for循环嵌套完成，如下代码：

/*初始化邻接矩阵*/
void InitGraph(Graph *G) 
	int i,j;
	for(i=0; i<G->n; i++)
		for(j=0; j<G->n; j++)
			G->E[i][j]=0;

（三）图的邻接矩阵建立

针对无向图和有向图，由于无向图中边连接边的两个顶点与有向图中不同，所以只需对if条件语句进行修改。
对于无向图时：

for(k=0; k<G->e; k++) 
	scanf("%c",&X); 
	printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1);
	scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);
	for(i=0; i<G->n; i++)
		for(j=0; j<G->n; j++)
			if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) 
				G->E[i][j]=1;
				G->E[j][i]=1;		/*对于有向图，可以去掉这行代码，而无向图需加上*/

对于有向图时，加上G->E[j][i]=1：

for(k=0; k<G->e; k++) 
	scanf("%c",&X); 
	printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1);
	scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);
	for(i=0; i<G->n; i++)
		for(j=0; j<G->n; j++)
			if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j])
				G->E[i][j]=1;

完整代码如下：

/*图的邻接矩阵建立*/
void CreateGraph(Graph *G) 
	int i,j,k;
	char ch1,ch2,X;
	printf("请输入图的顶点数目：");
	scanf("%d",&G->n);
	printf("请输入图的边的数目：");
	scanf("%d",&G->e);
	printf("请输入各顶点的信息：\\n");
	for(i=0; i<G->n; i++) 
		scanf("%c",&X); 
		printf("输入第%d个顶点：",i+1);
		scanf("%c",&(G->V[i]));
	
	for(k=0; k<G->e; k++) 
		scanf("%c",&X); 
		printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1);
		scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);
		for(i=0; i<G->n; i++)
			for(j=0; j<G->n; j++)
				if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) 
					G->E[i][j]=1;
					G->E[j][i]=1;		/*对于有向图，可以去掉这行代码，而无向图需加上*/

（四）输出邻接矩阵

/*输出邻接矩阵*/
void PrintGraph(Graph G) 
	int i,j;
	for(i=0; i<G.n; i++) 
		for(j=0; j<G.n; j++)
			printf("%d  ",G.E[i][j]);
		printf("\\n");

例如，下面是个无向完全图，求其邻接矩阵。

可知该图有4个顶点，6条边，顶点信息分别为A、B、C、D，边分别为A,B、A,C、A,D、B,C、B,D、C,D。
代码如下：

#include <stdio.h>
#define MAXSIZE 100
typedef struct 
	int n,e;					//图的顶点、图的边
	char V[MAXSIZE];			//一维数组，存储顶点
	int E[MAXSIZE][MAXSIZE];	//二维数组，存储顶点之间关系
 Graph;

/*初始化邻接矩阵*/
void InitGraph(Graph *G) 
	int i,j;
	for(i=0; i<G->n; i++)
		for(j=0; j<G->n; j++)
			G->E[i][j]=0;


/*图的邻接矩阵建立*/
void CreateGraph(Graph *G) 
	int i,j,k;
	char ch1,ch2,X;
	printf("请输入图的顶点数目：");
	scanf("%d",&G->n);
	printf("请输入图的边的数目：");
	scanf("%d",&G->e);
	printf("请输入各顶点的信息：\\n");
	for(i=0; i<G->n; i++) 
		scanf("%c",&X); 
		printf("输入第%d个顶点：",i+1);
		scanf("%c",&(G->V[i]));
	
	for(k=0; k<G->e; k++) 
		scanf("%c",&X); 
		printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1);
		scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);
		for(i=0; i<G->n; i++)
			for(j=0; j<G->n; j++)
				if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) 
					G->E[i][j]=1;
					G->E[j][i]=1;
				
	


/*输出邻接矩阵*/
void PrintGraph(Graph G) 
	int i,j;
	for(i=0; i<G.n; i++) 
		for(j=0; j<G.n; j++)
			printf("%d  ",G.E[i][j]);
		printf("\\n");
	


/*主函数*/
int main() 
	Graph G;
	InitGraph(&G);					//初始化邻接矩阵 
	CreateGraph(&G);				//建立邻接矩阵 
	printf("图的邻接矩阵为：\\n");
	PrintGraph(G);					//输出邻接矩阵

运行结果如下：

例如，下面是个有向图，求其邻接矩阵。

可知该图有4个顶点，5条边，顶点信息分别为A、B、C、D，边分别为B,A、B,C、B,D、C,A、D,C。
代码如下：

#include <stdio.h>
#define MAXSIZE 100
typedef struct 
	int n,e;					//图的顶点、图的边
	char V[MAXSIZE];			//一维数组，存储顶点
	int E[MAXSIZE][MAXSIZE];	//二维数组，存储顶点之间关系
 Graph;

/*初始化邻接矩阵*/
void InitGraph(Graph *G) 
	int i,j;
	for(i=0; i<G->n; i++)
		for(j=0; j<G->n; j++)
			G->E[i][j]=0;


/*图的邻接矩阵建立*/
void CreateGraph(Graph *G) 
	int i,j,k;
	char ch1,ch2,X;
	printf("请输入图的顶点数目：");
	scanf("%d",&G->n);
	printf("请输入图的边的数目：");
	scanf("%d",&G->e);
	printf("请输入各顶点的信息：\\n");
	for(i=0; i<G->n; i++) 
		scanf("%c",&X); 
		printf("输入第%d个顶点：",i+1);
		scanf("%c",&(G->V[i]));
	
	for(k=0; k<G->e; k++) 
		scanf("%c",&X); 
		printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1);
		scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);
		for(i=0; i<G->n; i++)
			for(j=0; j<G->n; j++)
				if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) 
					G->E[i][j]=1;
					//G->E[j][i]=1;
				
	


/*输出邻接矩阵*/
void PrintGraph(Graph G) 
	int i,j;
	for(i=0; i<G.n; i++) 
		for(j=0; j<G.n; j++)
			printf("%d  ",G.E[i][j]);
		printf("\\n"
以上是关于数据结构学习笔记——图的存储结构（邻接矩阵和邻接表）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 

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 数据结构与算法学习笔记 图


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 编程实现以邻接表或邻接矩阵为存储结构，图的广度和深度优先搜索


 图的基本概念；图的邻接矩阵和邻接表存储结构


 第六章学习小结