递归与分治策略-第一节：递归和典型递归问题

Posted 2022-11-20 快乐江湖

文章目录

• 一：LeetCode中有关递归和分治的题目
• 二：递归与分治概述
• 三：递归基本概念
• 四：典型递归问题分析
• • （1）阶乘
  • （2）Fibonacci数列
  • （3）排列问题
  • （4）整数划分
  • （5）汉诺塔
• 五：递归算法原理
• 六：递归算法优缺点

一：LeetCode中有关递归和分治的题目

递归题目：链接

分治题目：链接

二：递归与分治概述

递归与分治：任何可以用计算机求解的问题所需要的计算时间都和其规模有关，如果问题的规模越小，解题所需的计算时间往往也越短，从而也比较容易处理，例如

• 对于$n$个元素的排序问题：当$n=1$时不需要任何计算；当$n=2$时，只需要做一次比较即可排好序；当$n=3$时则两次。而当$n$较大时，这个问题就不好处理了

所以要想直接解决一个较大的问题，有时是相当有困难的。所以分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，也即分而治之。如果原问题可以分割为$k$个子问题，$1<k\le n$，且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题于原问题类型一致而其规模不断缩小，最终使子问题缩小到容易求出其解，由此自然引出递归算法。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计中，并由此产生许多高效算法

三：递归基本概念

递归：递归算法是指直接或间接调用自身的算法；递归函数是指用函数自身给出定义的函数。在计算机算法设计与分析中，递归技术非常有用。使用递归技术往往可以使函数的定义和算法的描述简洁且易于理解，而且有些数据结构（例如二叉树）由于其本身具有递归特性，所以也特别使用递归的形式来求解

构造递归算法的基本步骤为

• 确定递归边界
• 描述递归关系
• 构造递归函数

四：典型递归问题分析

（1）阶乘

阶乘：$n!=n\times (n-1)\times ...\times 1$，可递归定义如下

• 第一个式子是递归边界，如果没有边界就有可能会引发无穷递归
• 第二个式子是用较小自变量的函数来表示较大自变量的函数值，相当于问题规模减小
  

这个问题很简单，递归定义式很容易给出，所以编写代码如下

public class Factorial 

    public static int factorial_recurse(int n )
        if(n == 1)return 1;
        return n * factorial_recurse(n-1);
    

    public static void main(String[] args) 
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        while(scanner.hasNextInt())
            int n = scanner.nextInt();
            System.out.println(n+"!等于：" + factorial_recurse(n));
        
    

当然，递归解法也有其对应的非递归解法

public class Factorial 
    public static int factorial_none_recurse(int n)
        int ret = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            ret *= i;
        
        return ret;
    

    public static void main(String[] args) 
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        while(scanner.hasNextInt())
            int n = scanner.nextInt();
            System.out.println(n+"!等于：" + factorial_none_recurse(n));
        
    

（2）Fibonacci数列

Fibonacci数列 ：无穷数列【1 1 2 3 5 8 13 21 34 55…】称为Fibonacci数列，在Fibonacci数列中从第三个数字开始，每一个数字都是前两个数字之和，这是一个典型的递归问题，其递归定义式如下

很明显这个问题需要两个递归边界

问题还是比较简单，所以编写代码如下

public class Fibonacci 
    public static int fibonacci_recurse(int n)
        if(n <= 1)return 1;
        return fibonacci_recurse(n-1) + fibonacci_recurse(n-2);
    

    public static void main(String[] args) 
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        while(scanner.hasNextInt())
            int n = scanner.nextInt();
            System.out.println("第" + n+"个fibonacci数为：" + fibonacci_recurse(n));
        
    

fibonacci数列的纯递归写法有很多的重复子问题，所以其时间复杂度极高。所以对于其递归写法，我们可以进行一定优化，引入一个“备忘录”去解决这一部分重复子问题

public class Fibonacci 
    public static int fibonacci_recurse(int n)
        if(n <= 1)return 1;
        return fibonacci_recurse(n-1) + fibonacci_recurse(n-2);
    

    public static int fibonacci_recurse_optimize(int[] memo, int n)
        if(n <= 1)return 1;
        if(memo[n] != 0)return memo[n];//如果备忘录有这个元素那就不用递归了
        memo[n] = fibonacci_recurse(n-1) + fibonacci_recurse(n-2);//保存下来
        return memo[n];
    

    public static void main(String[] args) 
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        while(scanner.hasNextInt())
            int n = scanner.nextInt();
            int[] memo = new int[n+1];//备忘录，元素如果为0表示没有被记录
            long recurse_start_time = System.nanoTime();
            System.out.println("(递归)第" + n+"个fibonacci数为：" + fibonacci_recurse_optimize(memo, n));
            long recurse_end_time = System.nanoTime();
            long none_recurse_start_time = System.nanoTime();
            System.out.println("(非递归)第" + n+"个fibonacci数为：" + fibonacci_recurse_optimize(memo, n));
            long none_recurse_end_time = System.nanoTime();
            System.out.println("递归用时：" + (recurse_end_time - recurse_start_time));
            System.out.println("非递归用时：" + (none_recurse_end_time - none_recurse_start_time));
            System.out.println("----------------------------------------------------");
        
        scanner.close();
    

（3）排列问题

排列问题：设计一个递归算法生成$n$个元素的全排列

采用递归解法，可以将规模为$n$的全排列问题转换为规模为$n-1$的全排列问题。所以他可以看作是固定$[0,k]$位，对$[k+1,n]$位进行全排列，当$k+1=n$时，递归结束

如下为决策树，每一个子决策树都是一个全排列问题，

代码如下

public class Permutations

    public static void swap(int[] test, int k, int i)
        int temp = test[k];
        test[k] = test[i];
        test[i] = temp;

    

    public static void perm(int[] list, int k, int m)
        //只有一个元素，递归结束，这一种排列情况可以输出了
        if(k == m)
            for(int i = 0; i <= m; i++)
                System.out.print(list[i]);
            
            System.out.println();
        
        //否则开始递归
        else
            for(int i = k; i <= m; i++)
                swap(list, k, i);
                perm(list, k+1, m);
                swap(list, k, i);
            
        
    

    public static void main(String[] args) 
        int[] test = new int[]2, 3, 5, 7;
        perm(test, 0, 3);
    

（4）整数划分

整数划分：将正整数$n$表示成一系列整数之和，即$n=n_1+n_2+...+n_k$

在这里，正整数$n$的这种表示称为正整数$n$的划分。正整数$n$的不同划分个数称为正整数$n$的划分数，记为$p(n)$，例如6有如下11种不同的划分方法，所以$p(6)=11$

6
5+1
4+2, 4+1+1
3+3, 3+2+1, 3+1+1+1
2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1

在正整数$n$的所有划分中，用$q(n,m)$表示最大加数$n_1$不大于$m$的划分个数，正整数$n$的划分数$p(n)=q(n,n)$

• 当$n\ge 1$时，$q(n,1)=1$，因为当最大加数最大为1时，任何正整数只有一种划分形式，也即全1
• 由于最大加数不可能大于$n$，所以当$m\ge n$时，$q(n,m)=q(n,n)$,$q(1,m)=1$
• 正整数$n$的划分由$n_1=$