第十二届蓝桥杯 ——国际象棋
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了第十二届蓝桥杯 ——国际象棋相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
题目描述
众所周知,“八皇后” 问题是求解在国际象棋棋盘上摆放
8
8
8 个皇后,使得两两之间互不攻击的方案数。
已经学习了很多算法的小蓝觉得 “八皇后” 问题太简单了,意犹未尽。
作为一个国际象棋迷,他想研究在 N × M N×M N×M 的棋盘上,摆放 K K K 个马,使得两两之间互不攻击有多少种摆放方案。
由于方案数可能很大,只需计算答案除以 1000000007 1000000007 1000000007 (即 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7) 的余数。
如下图所示,国际象棋中的马摆放在棋盘的方格内,走 “日” 字,位于 ( x , y ) (x,y) (x,y) 格的马(第 x x x 行第 y y y 列)可以攻击
( x + 1 , y + 2 ) 、 ( x + 1 , y − 2 ) 、 ( x − 1 , y + 2 ) 、 ( x − 1 , y − 2 ) 、 ( x + 2 , y + 1 ) 、 ( x + 2 , y − 1 ) 、 ( x − 2 , y + 1 ) 和 ( x − 2 , y − 1 ) (x+1,y+2)、(x+1,y−2)、(x−1,y+2)、(x−1,y−2)、(x+2,y+1)、(x+2,y−1)、(x−2,y+1) 和 (x−2,y−1) (x+1,y+2)、(x+1,y−2)、(x−1,y+2)、(x−1,y−2)、(x+2,y+1)、(x+2,y−1)、(x−2,y+1)和(x−2,y−1)
共 8 个格子。
输入格式
输入一行包含三个正整数
N
,
M
,
K
N,M,K
N,M,K,分别表示棋盘的行数、列数和马的个数。
输出格式
输出一个整数,表示摆放的方案数除以
1000000007
1000000007
1000000007 (即
1
0
9
+
7
10^9+7
109+7) 的余数。
输入样例1
1 2 1
输出样例1
2
输入样例2
4 4 3
输出样例2
276
输入样例3
3 20 12
输出样例3
914051446
数据范围
对于
5
5
5% 的评测用例,
K
=
1
K=1
K=1;
对于另外
10
10
10% 的评测用例,
K
=
2
K=2
K=2;
对于另外
10
10
10% 的评测用例,
N
=
1
N=1
N=1;
对于另外
20
20
20% 的评测用例,
N
,
M
≤
6
,
K
≤
5
N,M≤6,K≤5
N,M≤6,K≤5;
对于另外
25
25
25% 的评测用例,
N
≤
3
,
M
≤
20
,
K
≤
12
N≤3,M≤20,K≤12
N≤3,M≤20,K≤12;
对于所有评测用例,
1
≤
N
≤
6
,
1
≤
M
≤
100
,
1
≤
K
≤
20
1≤N≤6,1≤M≤100,1≤K≤20
1≤N≤6,1≤M≤100,1≤K≤20。
题解:状压DP
f [ i ] [ k ] [ b ] [ a ] f[i][k][b][a] f[i][k][b][a]:在前 i i i 行放置了 k k k 个马,且第 i − 1 i-1 i−1 行的状态为 b b b,第 i i i 行的状态为 a a a 的方案数。
- 由于我们要用一个二进制数表示每一行的状态,而此题的 m = 100 m=100 m=100,但 2100 是无法接受的
- 因此我们可以换个思路,将棋盘看成是 M × N M×N M×N 的,这样每行最多仅有 2 6 2^6 26 个二进制状态
如何判断冲突
:
- 假设第 i i i 行的状态为 a a a,第 i − 1 i-1 i−1 行的状态为 b b b,第 i − 2 i-2 i−2 行的状态为 c c c;
- 若想在第 i i i 行的第 j j j 列放一匹马,则:
- 第
i
−
1
i-1
i−1 行的第
j
−
2
、
j
+
2
j-2、j+2
j−2、j+2 列不能有马,即
b & (a << 2) == 0
且b & (a >> 2) == 0
- 第
i
−
2
i-2
i−2 行的第
j
−
1
、
j
+
1
j-1、j+1
j−1、j+1 列不能有马,即
c & (a << 1) == 0
且c & (a >> 1) == 0
- 同时第
i
−
1
i - 1
i−1 行与第
i
−
2
i - 2
i−2 行也不能有冲突,即
c & (b << 2) == 0
且c & (b >> 2) == 0
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 1 << 6, MOD = 1e9 + 7;
int n, m, K;
int f[110][21][M][M];
int count(int x)
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++) cnt += x >> i & 1;
return cnt;
int main()
cin >> n >> m >> K;
f[0][0][0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= m; i ++)
for (int k = 0; k <= K; k ++)
for (int b = 0; b < 1 << n; b ++)
for (int a = 0; a < 1 << n; a ++)
if(b & (a << 2) || b & (a >> 2)) continue;
for (int c = 0; c < 1 << n; c ++)
if(c & (a << 1) || c & (a >> 1)) continue;
if(c & (b << 2) || c & (b >> 2)) continue;
if(k >= count(a))
f[i][k][b][a] = (f[i][k][b][a] + f[i - 1][k - count(a)][c][b]) % MOD;
int ans = 0;
for (int i = 0; i < 1 << n; i ++)
for (int j = 0; j < 1 << n; j ++)
ans = (ans + f[m][K][i][j]) % MOD;
cout << ans << endl;
return 0;
以上是关于第十二届蓝桥杯 ——国际象棋的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章