遗传算法 (Genetic Algorithm)

Posted 2022-11-06 Joe-Han

1. 求最值问题常用方法

1. 爬山法：从搜索空间中随机产生邻近的点，从中选择对应解最优的个体，替换原来的个体，不断 重复上述过程。因为只对“邻近”的点作比较，所以目光比较“短浅”，常常只能收敛到离开初始位置比较近的局部最优解上面。对于存在很多局部最优点的问题，通过一个简单的迭代找出全局最优解的机会非常渺茫。（在爬山法中不能保证该山顶是一个非常 高的山峰。因为一路上它只顾上坡，没有下坡）

2. 模拟退火：这个方法来自金属热加工过程的启发。在金属热加工过程中，当金属的温度超过它的熔点（Melting Point）时，原子就会激烈地随机运动。与所有的其它的物理系统相类似，原子的这种运动趋向于寻找其能量的极小状态。在这个能量的变迁过程中，开始时。温度非常高， 使得原子具有很高的能量。随着温度不断降低，金属逐渐冷却，金属中的原子的能量就越来越小，最后达到所有可能的最低点。利用模拟退火的时候，让算法从较大的跳跃开始，使到它有足够的“能量”逃离可能“路过”的局部最优解而不至于限制在其中，当它停在全局最优解附近的时候，逐渐的减小跳跃量，以便使其“落脚 ”到全局最优解上。

3. 遗传算法：模拟达尔文生物进化论的过程，按照优胜劣汰进行繁衍，过程中会发生基因交叉( Crossover ) ，基因突变 ( Mutation ) ，适应度( Fitness )低的个体会被逐步淘汰，而适应度高的个体会越来越多。那么经过N代的自然选择后，保存下来的个体都是适应度很高的

2. 遗传算法基本思想

遗传算法有3个基本操作：选择，交叉，变异。

• 选择（Select）：可理解为优胜劣汰，部分适应能力强的个体被保留，而较弱的则逐渐消失。常用的选择策略是 “比例选择”，也就是个体被选中的概率与其适应度函数值成正比。
• 交叉(Crossover)： 即繁衍后代，两个个体的DNA进行交叉融合，从而产生下一代。
• 变异(Mutation)：在繁殖过程中，下一代染色体的基因会有一定概率产生变异。变异发生的概率记为P。

例如，使用遗传算法解决“0-1背包问题”的思路：0-1背包的解可以编码为一串0-1字符串（0：不取，1：取） ；首先，随机产生M个0-1字符串，然后评价这些0-1字符串作为0-1背包问题的解的优劣；然后，随机选择一些字符串通过交叉、突变等操作产生下一代的M个字符串，而且较优的解被选中的概率要比较高。这样经过G代的进化后就可能会产生出0-1背包问题的一个“近似最优解”。

3. 0-1背包问题

1. 给定：n种物品和一个背包 ，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi，背包的容量为：Capacity
2. 约束条件： 对于每种物品，旅行者只有两种选择（放入或舍弃），每种物品只能放入背包一次
3. 目标：如何选择物品，使背包中物品的总价值最大?

使用遗传算法逼近最优解：

• 定义DNA：0-1序列（序列长度为物品总数），1表示对应物品被选取，0则表示未被选。
• 定义适应度：以背包中物品的总价值作为基础测度，若总重量超过背包的Capacity，则适应度置为0

代码：

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np

N_ITEMS = 20  # 物品数量
CROSS_RATE = 0.5  # DNA交叉概率
MUTATE_RATE = 0.01  # 变异概率
POP_SIZE = 400  # 个体数量
N_GENERATIONS = 20  # 迭代轮数


class GA:
    def __init__(self, DNA_size, cross_rate, mutate_rate, pop_size, n_generations):
        self.DNA_size = DNA_size
        self.cross_rate = cross_rate
        self.mutate_rate = mutate_rate
        self.pop_size = pop_size
        self.n_generations = n_generations
        #  初始化每个个体的DNA
        self.pop = np.random.randint(0, 2, size=(pop_size, DNA_size))

    def get_fitness(self, w, v, c):
        fitness = np.empty(shape=self.pop_size, dtype=np.float32)
        for i, individual in enumerate(self.pop):  # 计算每个个体的fitness和weight
            weight = w[individual.astype(np.bool)].sum()
            value = v[individual.astype(np.bool)].sum()
            # 若物品总重量超过capacity，则fitness为0
            fitness[i] = 0 if weight > c else value
        return np.exp(fitness/self.DNA_size)

    def select(self, fitness):  # 适应度高的DNA有更大的概率保留
        index = np.random.choice(np.arange(self.pop_size), size=self.pop_size, replace=True, p=fitness/fitness.sum())
        return self.pop[index]

    def mutate(self, dna):
        for point in range(self.DNA_size):
            if np.random.rand() < self.mutate_rate:
                dna[point] = 0 if dna[point] == 0 else 1  # 变异

    def crossover(self, pop):
        pop_copy = pop.copy()
        for i in range(self.pop_size):
            if np.random.rand() < self.cross_rate:
                i_ = np.random.randint(self.pop_size, size=1)  # 选择另一个体
                cross_points = np.random.randint(2, size=self.DNA_size).astype(np.bool)  # 确定DNA交叉点
                pop[i, cross_points] = pop_copy[i_][0][cross_points]
            self.mutate(pop[i])


c = 40  # 背包容量
w = np.array([4, 5, 6, 2, 2, 3, 7, 8, 6, 9, 1, 5, 6, 8, 3, 4, 4, 9, 4, 2])  # 物品重量
v = np.array([6, 4, 5, 3, 6, 2, 4, 4, 9, 5, 3, 7, 8, 3, 6, 8, 4, 2, 3, 9])  # 物品价值

ga = GA(N_ITEMS, CROSS_RATE, MUTATE_RATE, POP_SIZE, N_GENERATIONS)

for generation in range(N_GENERATIONS):
    fitness = ga.get_fitness(w, v, c)
    pop = ga.select(fitness)
    ga.crossover(pop)
    best_idx = np.argmax(fitness)
    print('Gen:', generation, '| best fit: %.2f' % (np.log(fitness[best_idx])*ga.DNA_size), '| items:', ga.pop[best_idx])
    ga.pop = pop

运行结果：

4. 旅行商问题

旅行商从某城市出发，要经过给定的所有城市，且每个城市只访问一次，如何规划路径，使总路径最短。

使用遗传算法求解：

• 定义DNA：城市从0开始编号，经历的城市顺序按编号排序，每种访问顺序作为一个DNA序列（DNA长度为城市总数），例如，4个城市的DNA序列有：[0,1,2,3,4]，[4,2,1,3,0]…
• 定义适应度：以路径长度(distance)作为基础测度，且为了增大不同路径fitness值的差异，将定义适应度为 $e^size \\ of \\ DNA * 2 / distance$
• 进化与变异：由于DNA序列中的基因值不能重复，因此无法随意进行cross over，这里采取的方法是先确定其中一方遗传到下一代的基因，然后再从另一方中选取余下的基因片段（不与前者重复）按顺序拼接；另外，变异的方式是交换两个基因的位置。

该部分参考Morvan大神的代码：

# -*- coding: utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

N_CITIES = 20  # 城市数量
CROSS_RATE = 0.1  # DNA交叉概率
MUTATE_RATE = 0.02  # 变异概率
POP_SIZE = 500  # 个体数量
N_GENERATIONS = 500  # 迭代轮数


class GA:
    def __init__(self, DNA_size, cross_rate, mutation_rate, pop_size):
        self.DNA_size = DNA_size
        self.cross_rate = cross_rate
        self.mutate_rate = mutation_rate
        self.pop_size = pop_size
        #  初始化每个个体的DNA
        self.pop = np.vstack([np.random.permutation(DNA_size) for _ in range(pop_size)])

    def translateDNA(self, DNA, city_position):   # 获得每个城市的坐标
        line_x = np.empty_like(DNA, dtype=np.float64)
        line_y = np.empty_like(DNA, dtype=np.float64)
        for i, d in enumerate(DNA):
            city_coord = city_position[d]
            line_x[i, :] = city_coord[:, 0]
            line_y[i, :] = city_coord[:, 1]
        return line_x, line_y

    def get_fitness(self, line_x, line_y):
        total_distance = np.empty(self.pop_size, dtype=np.float64)
        for i, (xs, ys) in enumerate(zip(line_x, line_y)):
            total_distance[i] = np.sum(np.sqrt(np.square(np.diff(xs)) + np.square(np.diff(ys))))
        fitness = np.exp(self.DNA_size * 2 / total_distance)
        return fitness, total_distance

    def select(self, fitness):  # 适应度高的DNA有更大的概率保留
        idx = np.random.choice(np.arange(self.pop_size), size=self.pop_size, replace=True, p=fitness / fitness.sum())
        return self.pop[idx]

    def crossover(self, parent, pop):
        if np.random.rand() < self.cross_rate:
            i_ = np.random.randint(0, self.pop_size, size=1)  # 选择另一个体
            cross_points = np.random.randint(0, 2, self.DNA_size).astype(np.bool)  # 确定DNA如何交叉
            keep_city = parent[~cross_points]
            swap_city = pop[i_, np.isin(pop[i_].ravel(), keep_city, invert=True)]
            parent[:] = np.concatenate((keep_city, swap_city))
        return parent

    def mutate(self, child):
        for point in range(self.DNA_size):
            if np.random.rand() < self.mutate_rate:  # 变异：交换两个基因
                swap_point = np.random.randint(0, self.DNA_size)
                swapA, swapB = child[point], child[swap_point]
                child[point], child[swap_point] = swapB, swapA
        return child

    def evolve(self, fitness):
        pop = self.select(fitness)
        pop_copy = pop.copy()
        for parent in pop:  # for every parent
            child = self.crossover(parent, pop_copy)
            child = self.mutate(child)
            parent[:] = child
        self.pop = pop


class TravelSalesPerson:
    def __init__(self, n_cities):
        self.city_position = np.random.rand(n_cities, 2)  # 初始化每个城市的坐标
        plt.ion()

    def plotting(self, lx, ly, total_d):
        plt.cla()
        plt.scatter(self.city_position[:, 0].T, self.city_position[:, 1].T, s=100, c='k')
        plt.plot(lx.T, ly.T, 'r-')
        plt.text(-0.05, -0.05, "Total distance=%.2f" % total_d, fontdict='size': 20, 'color': 'red')
        plt.xlim((-0.1, 1.1))
        plt.ylim((-0.1, 1.1))
        plt.pause(0.01)

ga = GA(DNA_size=N_CITIES, cross_rate=CROSS_RATE, mutation_rate=MUTATE_RATE, pop_size=POP_SIZE)
env = TravelSalesPerson(N_CITIES)  # 初始化每个城市的坐标

for generation in range(N_GENERATIONS):
    lx, ly = ga.translateDNA(ga.pop, env.city_position)  # 将DNA中的城市id转换为城市坐标
    fitness, total_distance = ga.get_fitness(lx, ly)
    ga.evolve(fitness)  # 模拟进化过程
    best_idx = np.argmax(fitness)
    print('Gen:', generation, '| best fit: %.2f' % fitness[best_idx],)

    env.plotting(lx[best_idx], ly[best_idx], total_distance[best_idx])

plt.ioff()
plt.show()

运行结果：