算法牛顿迭代法求平方根及多次方根
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了算法牛顿迭代法求平方根及多次方根相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1. 概述
牛顿迭代法 牛顿迭代法 牛顿迭代法 是非常高效的求解方程的根的方法。其求解原理可以参考各文献。大体的思路如下：
通过不断地做切线来逼近真实的根，直到误差小于精度。
可得迭代公式：
x
n
+
1
=
x
n
−
f
(
x
n
)
f
′
(
x
n
)
x_n+1=x_n-\\fracf(x_n)f'(x_n)
xn+1=xn−f′(xn)f(xn)
通过这种不断地做切线的方法，直到
∣
x
n
−
x
∗
∣
<
给定的精度
|x_n - x_*| < 给定的精度
∣xn−x∗∣<给定的精度，在误差范围内可以认为
x
n
x_n
xn 就是方程的根了。
2. 牛顿法求平法根
假设我们要求解n的平方根，那么我们可以构建函数 f ( x ) = x 2 − n f(x)=x^2-n f(x)=x2−n。
那么方程 x 2 − n = 0 x^2-n=0 x2−n=0 的理论根为 x = n x=\\sqrtn x=n ，即求解这个方程得到的根就是求的n的平方根。
例如求5的平方根，那么可以构建函数 f ( x ) = x 2 − 5 f(x)=x^2-5 f(x)=x2−5，方程 x 2 − 5 = 0 x^2-5=0 x2−5=0 的理论根即为 5 \\sqrt5 5，在误差范围内，用牛顿法求解出方程 x 2 − 5 = 0 x^2-5=0 x2−5=0 的根即可认为是5的平方根。
迭代公式
构建函数
f
(
x
)
=
x
2
−
n
f(x)=x^2-n
f(x)=x2−n
那么有：
f
′
(
x
)
=
2
x
f'(x)=2x
f′(x)=2x
根据牛顿法的迭代公式有：
x
n
+
1
=
x
n
−
f
(
x
n
)
f
′
(
x
n
)
x_n+1=x_n-\\fracf(x_n)f'(x_n)
xn+1=xn−f′(xn)f(xn)
=
x
n
−
x
n
2
−
n
2
x
n
\\quad \\quad =x_n-\\fracx_n^2-n2x_n
=xn−2xnxn2−n
=
x
n
+
n
/
x
n
2
\\quad\\quad =\\fracx_n+n/x_n2
=2xn+n/xn
代码
/**
* @author allen
* @date 2022/9/19
*/
public class Main2
public static void main(String[] args)
double n = 987654321;
double x = 0.0000001;
double res = sqrt(n, x);
System.out.println(res);
public static double sqrt(double n, double x)
double k = n / 2;
while (Math.abs(k * k - n) > x)
k = (k + n / k) / 2;
return k;
Python3库函数求平方根验证
3. 牛顿法求多次方根
跟求平方根同理，只是构建的函数不同，例如求解m次方根，那么就需要构建函数
f
(
x
)
=
x
m
−
n
f(x)=x^m-n
f(x)=xm−n
那么就有：
f
′
(
x
)
=
m
∗
x
m
−
1
f'(x)=m*x^m-1
f′(x)=m∗xm−1
根据牛顿法的迭代公式有：
x
n
+
1
=
x
n
−
f
(
x
n
)
f
′
(
x
n
)
x_n+1=x_n-\\fracf(x_n)f'(x_n)
xn+1=xn−f′(xn)f(xn)
=
x
n
−
x
n
m
−
n
m
∗
x
n
m
−
1
\\quad\\quad =x_n-\\fracx_n^m-nm*x_n^m-1
=xn−m∗xnm−1xnm−n
例如求解n的3次方根，那么就有：
x
n
+
1
=
x
n
−
x
n
3
−
n
3
∗
x
n
2
x_n+1=x_n-\\fracx_n^3-n3*x_n^2
xn+1=xn−3∗xn2xn3−n
代码
package cn.pku.edu.algorithm;
/**
* @author allen
* @date 2022/9/19
*/
public class Main2
public static void main(String[] args)
double n = 123456789;
double x = 0.0000001;
double res 以上是关于算法牛顿迭代法求平方根及多次方根的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章