C++内点法求解大规模线性规划问题——对标MATLAB中linprog函数

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C++内点法求解大规模线性规划问题——对标MATLAB中linprog函数

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项目资源链接如下https://download.csdn.net/download/weixin_46584887/86406561


1. 项目场景

对于如下大规模线性规划问题:

min ⁡    c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n s.t.   a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 … a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m x 1 , x 2 , … , x n ≥ 0 \\beginarrayrl \\min\\ \\ &c_1x_1+c_2x_2+\\dots+c_nx_n\\\\ \\textrms.t.\\ \\ &a_11x_1+a_12x_2+\\dots+a_1nx_n=b_1\\\\ &a_21x_1+a_22x_2+\\dots+a_2nx_n=b_2\\\\ &\\dots\\\\ &a_m1x_1+a_m2x_2+\\dots+a_mnx_n=b_m\\\\ &x_1,x_2,\\dots,x_n\\ge0 \\endarray min  s.t.  c1x1+c2x2++cnxna11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2am1x1+am2x2++amnxn=bmx1,x2,,xn0

或者写成如下形式:

min ⁡   c x   s.t.  A x = b x ≽ 0 \\min\\ \\bfcx\\ \\ \\textrms.t.\\ \\left\\\\beginarrayl\\bf Ax=b\\\\ \\bf x\\succcurlyeq 0\\\\ \\endarray\\right. min cx  s.t. Ax=bx0

并且 A ∈ R m × n , x ∈ R n × 1 , b ∈ R m × 1 \\bfA\\in R_m\\times n,x\\in R_n\\times 1,b\\in R_m\\times 1 ARm×n,xRn×1,bRm×1.


2. 约束的规范化

  • 对于缺乏非负约束的变量 x i x_i xi,我们做出如下转化 :

    • x i = x i 1 − x i 2 x_i=x_i1-x_i2 xi=xi1xi2

    • x i 1 ≥ 0 , x i 2 ≥ 0 x_i1\\ge0,x_i2\\ge0 xi10,xi20

  • 对于不等式约束,我们也需要将其松弛为等式约束:

    • ∑ j = 0 n a i j x j ≤ b i \\sum_j=0^na_ijx_j\\le b_i j=0naijxjbi 或者 ∑ j = 0 n a i j x j ≥ b i \\sum_j=0^na_ijx_j\\ge b_i j=0naijxjbi

    • x n + i ± ∑ j = 0 n a i j x j = b i , x n + i ≥ 0 x_n+i\\pm\\sum_j=0^na_ijx_j=b_i, x_n+i\\ge 0 xn+i±j=0naijxj=bi,xn+i0


3. 输入格式

代码从文本文件中读取数据(data.txt):

  • 该文本文件的第一行包含两个整数, m and n, 分别代表约束个数与变量个数
  • 第二行的 n 个元素代表目标函数中变量前的系数 c i c_i ci
  • 接下来 m 行每行包括 n + 1 个元素, 每行的前 n 个元素代表变量前的系数 a i j a_ij aij,,最后一个元素代表 b i b_i bi

举个例子,对于如下线性规划问题:

max ⁡ 5 x 1 + 10 x 2 s.t. 8 x 1 + 8 x 2 ≤ 160

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