课后练习答案

Posted 2022-10-04 哈喽喔德

4.7 练习题

1. 选用算法

如果数据有百万个特征，可以使用随机梯度下降和小批量梯度下降。如果训练集适合容纳于内存，可以使用批量梯度下降；但是不能使用标准方程法和SVD方法，因为随着特征数量的增加，复杂度会指数级增长。

2. 受到影响的算法

如果训练集的特征具有不同的尺寸比例，则成本函数有细长碗的形状，梯度下降收敛的时间很长。因此需要在训练前缩放数据，其中标准方程和SVD方法不需要缩放即可正常工作。此外如果特征没有按比例缩放，正则化模型会收敛至次优解：由于正则化会惩罚较大的权重，因此与具有较大值的特征相比，具有较小值的特征往往会被忽略。

3. 是否卡在局部最小值

不会，因为成本函数是凸函数。

4. 是否得到相同的模型

如果优化问题是凸的，并假设学习率不是太高，那么所有梯度下降算法都将接近群居最优解产生相似的模型，但是除非逐步降低学习率，否则永远不会真正收敛，相反会在全局最优值周围跳跃。

5. 验证错误上升的原因

学习率过高，且算法在发散。如果训练错误也增加了，那么应该降低学习率；如果训练错误没有增加，则已经过拟合。

6. 是否立即停止小批量梯度下降

可能在在达到最优值之前就停止，更好的选择是定时保存模型，当其长时间没有改善时，恢复到最佳的模型。

7. 哪种梯度下降算法

随机梯度下降具有最快的训练迭代速度，通常是第一个达到全局最优解附近的算法。但在给足训练时间的情况下，实际上只有批量梯度下降会收敛。随机梯度下降和小批量梯度下降会在最优值附近反弹，除非降低学习率。

8. 解决问题的三种方法

如果验证误差远高于训练误差。可能是因为模型过拟合。可以降低多项式阶数：较小的自由度的模型不太可能拟合。可以降低多项式阶数：因为较小自由度的模型不太可能过拟合；另一种方式是正则化。

9. 使用岭回归

说明模型很可能欠拟合数据集，有很高的偏差，应该减小正则化超参数a。

10. 为什么要使用

（a）正则化模型要比没有正则化的模型好，因此通常优先选择岭回归

（b）Lasso回归会导致权重降低为0，成为稀疏模型。如果在不确定特征是否有用的情况下，优先使用岭回归

（c）Lasso在几个特征强相关或当特征比训练实例更多时可能发生异常，但是缺失增加了额外需要调整的超参数，如果希望Lasso没有不稳定的行为，使用l1_ratio→1的弹性网络

11. 图片分类

因为他们不是排他的类，所以需要训练两个逻辑回归分类器。

12. 实现提前停止

用Softmax回归进行批量梯度下降训练，实现提前停止法（不使用Scikit-Learn）。

import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
import matplotlib.pyplot as plt

# 引入鸢尾花数据集
iris = datasets.load_iris()
X = iris["data"][:,(2,3)]
y = iris["target"]

# 为每个实例增加偏置项
X_with_bias = np.c_[np.ones([len(X), 1]), X]

# 设置随机的种子
np.random.seed(42)

# 分割数据集
test_ratio = 0.2
validation_ratio = 0.2
total_size = len(X_with_bias)

test_size = int(total_size * test_ratio)
validation_size = int(total_size * validation_ratio)
train_size = total_size - test_size - validation_size

rnd_indices = np.random.permutation(total_size)

X_train = X_with_bias[rnd_indices[:train_size]]
y_train = y[rnd_indices[:train_size]]
X_valid = X_with_bias[rnd_indices[train_size:-test_size]]
y_valid = y[rnd_indices[train_size:-test_size]]
X_test = X_with_bias[rnd_indices[-test_size:]]
y_test = y[rnd_indices[-test_size:]]

# 转化为喊onehot向量的矩阵
def to_one_hot(y):
    n_classes = y.max()+1
    m = len(y)
    Y_one_hot = np.zeros((m, n_classes))
    Y_one_hot[np.arange(m), y]=1
    return Y_one_hot

Y_train_one_hot = to_one_hot(y_train)
Y_valid_one_hot = to_one_hot(y_valid)
Y_test_one_hot = to_one_hot(y_test)

# 实现softmax函数
def softmax(logits):
    exps = np.exp(logits)
    exp_sums = np.sum(exps, axis=1, keepdims=True)
    return exps / exp_sums

n_inputs = X_train.shape[1]
n_outputs = len(np.unique(y_train))

# 用python代码模拟出数学公式
# 添加正则化
# 实现提前停止
eta = 0.1
n_iterations = 5001
m = len(X_train)
epsilon = 1e-7
alpha = 0.1  # regularization hyperparameter
best_loss = np.infty

Theta = np.random.randn(n_inputs, n_outputs)

for iteration in range(n_iterations):
    logits = X_train.dot(Theta)
    Y_proba = softmax(logits)
    error = Y_proba - Y_train_one_hot
    gradients = 1/m * X_train.T.dot(error) + np.r_[np.zeros([1, n_outputs]), alpha * Theta[1:]]
    Theta = Theta - eta * gradients

    logits = X_valid.dot(Theta)
    Y_proba = softmax(logits)
    xentropy_loss = -np.mean(np.sum(Y_valid_one_hot * np.log(Y_proba + epsilon), axis=1))
    l2_loss = 1/2 * np.sum(np.square(Theta[1:]))
    loss = xentropy_loss + alpha * l2_loss
    if iteration % 500 == 0:
        print(iteration, loss)
    if loss < best_loss:
        best_loss = loss
    else:
        print(iteration - 1, best_loss)
        print(iteration, loss, "early stopping!")
        break

# 输出模型参数
print(Theta)

# 对验证集做预测并检查准确性
logits = X_valid.dot(Theta)
Y_proba = softmax(logits)
y_predict = np.argmax(Y_proba, axis=1)

accuracy_score = np.mean(y_predict == y_valid)
print('验证集精确度', accuracy_score)

# 对测试集做预测并检查准确性
logits = X_test.dot(Theta)
Y_proba = softmax(logits)
y_predict = np.argmax(Y_proba, axis=1)

accuracy_score = np.mean(y_predict == y_test)
print('测试集机精确度',accuracy_score)

# 绘制模型预测图
x0, x1 = np.meshgrid(
        np.linspace(0, 8, 500).reshape(-1, 1),
        np.linspace(0, 3.5, 200).reshape(-1, 1),
    )
X_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]
X_new_with_bias = np.c_[np.ones([len(X_new), 1]), X_new]

logits = X_new_with_bias.dot(Theta)
Y_proba = softmax(logits)
y_predict = np.argmax(Y_proba, axis=1)

zz1 = Y_proba[:, 1].reshape(x0.shape)
zz = y_predict.reshape(x0.shape)

plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(X[y==2, 0], X[y==2, 1], "g^", label="Iris virginica")
plt.plot(X[y==1, 0], X[y==1, 1], "bs", label="Iris versicolor")
plt.plot(X[y==0, 0], X[y==0, 1], "yo", label="Iris setosa")

from matplotlib.colors import ListedColormap
custom_cmap = ListedColormap(['#fafab0','#9898ff','#a0faa0'])

plt.contourf(x0, x1, zz, cmap=custom_cmap)
contour = plt.contour(x0, x1, zz1, cmap=plt.cm.brg)
plt.clabel(contour, inline=1, fontsize=12)
plt.xlabel("Petal length", fontsize=14)
plt.ylabel("Petal width", fontsize=14)
plt.legend(loc="upper left", fontsize=14)
plt.axis([0, 7, 0, 3.5])
plt.show()