Matlab数值计算差商与插值

Posted 2022-09-23 gsls200808

均差定义 若已知函数$f(x)$在点$x_0,x_1,...x_n$处的值$f(x_0),f(x_1),...f(x_n).$如果$i≠j,$则
一阶均差$f[x_j,x_j+1]=\\fracf(x_j+1)-f(x_j)x_j+1-x_j(j=0,1,...n-1)$
二阶均差$f[x_j,x_j+1,x_j+2]=\\fracf[x_j+1,x_j+2]-f[x_j,x_j+1]x_j+2-x_j(j=0,1,...n-2)$
n阶均差$f[x_0,x_1,...,x_n]=\\fracf[x_1,...,x_n]-f[x_0,...,x_n-1]x_n-x_0$
例 由函数表求各阶均差

x	-2	-1	0	1	3
y	-56	-16	-2	-2	4

解：按公式计算一阶差商、二阶差商、三阶差商如下

x	f(x)	一阶差商	二阶差商	三阶差商
-2	-56
-1	-16	40
0	-2	14	-13
1	-2	0	-7	2
3	4	3	1	2

Matlab代码

clear
clc
x=[-2 -1 0 1 3]
y=[-56 -16 -2 -2 4]
deltx=diff(x);
delty=diff(y);
firstorder=delty./deltx %一阶
for i=1:length(x)-2
    delt2x(i)=x(i+2)-x(i);
end
delt2y=diff(firstorder);
secondorder=delt2y./delt2x %二阶
for i=1:length(x)-3
    delt3x(i)=x(i+3)-x(i);
end
delt3y=diff(secondorder);
thirdorder=delt3y./delt3x %三阶
for i=1:length(x)-4
    delt4x(i)=x(i+4)-x(i);
end
delt4y=diff(thirdorder);
fourorder=delt4y./delt4x %四阶

结果

x =

    -2    -1     0     1     3


y =

   -56   -16    -2    -2     4


firstorder =

    40    14     0     3


secondorder =

   -13    -7     1


thirdorder =

     2     2


fourorder =

     0

这里用到了diff，就再次介绍一下差分函数
补充：差分函数diff
diff(X) X为向量时(行列均可)，计算相邻两数的差[X(2)-X(1) X(3)-X(2) … X(n)-X(n-1)]
diff(X) X为矩阵时,计算矩阵的2~n行与1~n-1行的差，[X(2:n,:) - X(1:n-1,:)]
diff(X,N) 对上面函数diff(X)的扩充，这里的N指定N阶差分，二阶差分是对一阶差分的结果再做差分运算
DIFF(X,N,DIM) 对上面函数diff(X,N)的扩充，DIM取1或2，取1时按行差分，与上面结果一样，取2时按列差分

把上面的命令用字符串改造了一下，不过太难看懂了,no zuo no die
eval()函数的功能就是将括号内的字符串视为语句并运行，简单记为字符串转语句
num2str()函数的功能就是将括号内的数字转换为字符串，简单记为数字转字符串

clear
clc
x=[-2 -1 0 1 3]
y=[-56 -16 -2 -2 4]
deltx=diff(x);
delty=diff(y);
order1=delty./deltx %一阶
for j=2:4
  str=['for i=1:length(x)-',num2str(j),char(10)];
  str=[str,'delt',num2str(j),'x(i)=x(i+',num2str(j),')-x(i);',char(10)];
  str=[str,'end',char(10)];
  str=[str,'delt',num2str(j),'y=diff(order',num2str(j-1),');',char(10)];
  str=[str,'order',num2str(j),'=delt',num2str(j),'y./delt',num2str(j),'x',char(10)];
  eval(str)
end

结果

x =

    -2    -1     0     1     3


y =

   -56   -16    -2    -2     4


order1 =

    40    14     0     3


order2 =

   -13    -7     1


order3 =

     2     2


order4 =

     0

牛顿插值
牛顿插值公式及其余项
当$n=1$时：
差商$N_1(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)$
余项 R1(x)=f[x,x0,x1](x−x0)(x−Python实现牛顿插值法(差商表)

优化理论20---插值法: Newton插值差商差分

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