树上随机游走的期望距离

Posted 2022-09-21 alan_cty

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了树上随机游走的期望距离相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

~~无聊写写（顺便背板）~~
d[i]表示i的度数，每条边的长度均为1（虽然不是1也能做，但是好写啊）
我们设 $Fi$ 表示i走到它父亲的期望距离，则

Fi=1+(∑j是i的儿子Fj+Fi+1)d[i] $Fi=1+(\\sum_j是i的儿子Fj+Fi+1)\\over d[i]$
就是分两种情况讨论，直接走到，或者走到它的儿子再走回去。
化简一下：

Fi=d[i]+(d[i]−1)F[i]+∑j是i的儿子Fjd[i] $Fi=d[i]+(d[i]-1)F[i]+\\sum_j是i的儿子Fj\\over d[i]$

Fid[i]=d[i]+∑j是i的儿子Fjd[i] $Fi\\over d[i]=d[i]+\\sum_j是i的儿子Fj\\over d[i]$
于是

Fi=d[i]+∑j是i的儿子Fj $Fi=d[i]+\\sum_j是i的儿子Fj$

再设 $Gi$ 表示从i父亲走到i的期望距离，设i父亲为x，则

Gi=1+Gx+Gi+1+(∑j是x的儿子且j≠iFj+Gi+1)d[x] $Gi=1+Gx+Gi+1+(\\sum_j是x的儿子且j\\not=iFj+Gi+1)\\over d[x]$
这里分三种情况讨论，直接走到，走到x的父亲再走回来，走到x的其他儿子再走回来。
继续化简：

Gi=Gx+(d[x]−1)Gi+d[x]+∑j是x的儿子且j≠iFjd[x] $Gi=Gx+(d[x]-1)Gi+d[x]+\\sum_j是x的儿子且j\\not=iFj\\over d[x]$

Gid[x]=Gx+d[x]+∑j是x的儿子且j≠iFjd[x] $Gi\\over d[x]=Gx+d[x]+\\sum_j是x的儿子且j\\not=iFj\\over d[x]$
于是

Gi=Gx+d[x]+∑j是x的儿子且j≠iFj $Gi=Gx+d[x]+\\sum_j是x的儿子且j\\not=iFj$
然后就解决了。。。

以上是关于树上随机游走的期望距离的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章