模型思维2-中心极限定理的应用

Posted 2022-09-20 LuckyZhouStar

1、什么是中心极限定理

    []用样本来估计总体（任何一个样本的平均值，将会约等于其所在总体的平均值）

    []样本的平均值成正态分布

 

2、应用条件

    []事件相互独立

    []事件之间的值是有限的

 

3、样本来估计总体

    用样本来估计总体。任何一个样本的平均值将会约等于其所在总体的平均值。

    一个正确抽取的家庭样本应该能够反映中国所有家庭的情况，里面会包含收入高的公司高管，也会包括普通的员工，快递小哥、警察以及其他人，这些人出现的频率与他们在人口构成中的占比相关。因此，我们能够推测，这个包含1000个中国家庭代表性样本的家庭财富的平均值约等于总体的平均值。

 

4、样本平均值成正态分布

    如果我们连续抽取100次包含1000个家庭的样本，并将它们的平均值的出现频率在坐标轴上标出，那么我们基本可以确定在总体平均值周围将会呈现正态分布。

取样次数越多，结果就越接近正态分布；而且样本大小越大，分布就越接近正态分布。

 

5、样本来估计总体标准差

    现在我们已经可以用样本来估计出总体平均值。现在我想用样本来估计出总体的标准差，该怎么办呢？

    我们已经知道，一个数据集的标准差是数值与平均值的偏离程度。

    当你选择一个样本后，相比总体，你拥有数据的数量是变少了，因此，与总体中的数值偏离平均值的程度相比，样本中很有可能把较为极端的数值排除在外，这样使得数值更有可能以更紧密的方式聚集在均值周围。也就是说，样本的标准差要小于总体标准差。所以，为了更好的用样本估计总体的标准差，统计学家就将标准差的公式做了像下面图中公式中这样的改造。

 

 

 

即原来的标准差公式是除以n，为了用样本估计总体标准差，现在是除以n-1。这样就是的标准略大。一般用字幕s表示用样本估计出的总体标准差。

很多书上都会把除以n-1的标准差叫做样本标准，其实会给很多人造成误解。其实这个样本标准差的目的是用于估计总体标准差。

你可能会疑惑，那我什么时候标准差除以n还是n-1呢？

那就要看你使用标准差的目的是什么。

如果你只是想计算一个数据集的标准差，那么就除以n，例如你有100个毕业与清华人的收入，只是想了解这100个人构成的数据集的波动大小，那你就用除以n的标准差公式。

如果你想把这100个人当成一个样本，用这个样本来估计出总体（所有毕业与清华人的收入）的标准差，那么就除以n-1的标准差公式。

举个例子：

如果我从毕业于清华大学中抽取100个人作为样本1，然后我计算出标准差。那么这个标准差就是用来描述这100个人组成的数据集的波动大小。

我连续刚才重复抽取样本的动作，最后抽取出2个样本，每个样本都有100个人。对每个样本计算平均值，这样就有2个平均值。

这2个平均值其实组成了1个新的数据集，就是所有的“样本平均值”。然后对这2个平均值数据计算出标准差。就是标准误差。

6、样本平均值概率图

 

 

 

上图的含义是：

1）有68%的样本平均值会在总体平均值一个标准误差的范围之内

数值范围（总体平均值-1个标准误差，总体平均值+1个标准误差）

2）有95%的样本平均值会在总体平均值的两个标准误差的范围之内

（总体平均值-2个标准误差，总体平均值+2个标准误差）

3）有99.7%的样本平均值会在总体平均值3个标准误差的范围之内。

（总体平均值-3个标准误差，总体平均值+3个标准误差）

 

 

 

6、售出多少个飞机票合适呢？

    例如我们飞机票的座位数目是380个，每个人来机场的概率是90%，那么我们卖出多少个座位合适呢？ 比如我们卖出400个座位，由于该场景是二项分布，所以我们可以得出

    平均值=360     标准差=6

    那么根据上面的概率分布图，我们可以得出以下结果：

    68%的概率，人数会在[354,366]之间

    95%的概率，人数会在[342,372]之间

    99.7%的概率，人数会在[342,378]之间

 

7、反推某个样本适合符合总体趋势

    假如某个样本的平均值减去总体的平均值，大于3个标准误差。根据99.7%的样本平均值会处于总体平均值3个标准误差的范围内，因此我们可以得出该样本不属于总体。

 

文章参考自：https://www.zhihu.com/question/22913867/answer/250046834