证明X与Y相互独立

Posted 2023-03-31

这是离散随机变量。x和y是独立的。
用定义证明。p（x=0，y=-1）=p（x=0）p（y=-1），以此类推即可。
事实上，只要联合分布律每一行或者每一列成比例，可以直接看出x和y是独立的。 参考技术A X的概率密度g(x)=∫[-∞,+∞]f(x,y)dy
=1/(5√2π)
*
e^(-x^2/50).
Y的概率密度h(y)=∫[-∞,+∞]f(x,y)dx
=1/(5√2π)
*
e^(-y^2/50).
f(x,y)=g(x)h(y),
所以，X与Y相互独立.
g(x)=∫[-∞,+∞]f(x,y)dy
=∫[-∞,+∞]1/(50π)*
e^[-(x^2+y^2)/50]dy
=1/(50π)*e^(-x^2/50)*∫[-∞,+∞]
e^(-y^2)/50]dy
==1/(5√2π)
*
e^(-x^2/50).
这里利用了Poisson积分：
（1/ο√(2π)∫[-∞,+∞]e^[-x^2/2ο^2]dx=1.

X与Y独立吗?

参考技术A

是独立。

边缘分布律：以x为例，x取0的概率是1/6，取-1概率是1/3+1/12=5/12，

取2的概率就是5/12，那么做一个表，第一行是可能的取值0，1，2.第二行把相应概率填进去。

P(X=-2，Y=1)=0≠P(X=-2)·P(Y=1)

∴X与Y不相互独立。

随机变量X和Y的联合分布函数是设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数：F(x,y) = P(X<=x) 交 (Y<=y) => P(X<=x, Y<=y)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。

概念

在做实验时，常常是相对于试验结果本身而言，我们主要还是对结果的某些函数感兴趣。例如，在掷骰子时，我们常常关心的是两颗骰子的点和数，而并不真正关心其实际结果。

关心的也许是其点和数为7，而并不关心其实际结果是否是（1，6）或（2，5）或（3，4）或（4，3）或（5，2）或（6，1）。我们关注的这些量，或者更形式的说，这些定义在样本空间上的实值函数，称为随机变量。