学二叉树之前，先来认识下树吧

Posted 2023-03-31 Claffic

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前言：

往期给大家讲了链表，栈，队列等数据结构， 它们都是线性结构，而今天要讲的是一种非线性结构：树，让我们开始吧！ 

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目录

🌳1.什么是树？

🪲2.有关树的概念

🎄3.树的表示 

⛏️4.树的实际应用

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1.什么是树？

树，木本植物之总名... ...欸，走错频道了？

其实数据结构中的树就是由大自然中的树定义来的，因为它们有很多相似之处：

                        自然中的树(倒置)                                                  数据结构的树

怎么样？是不是还蛮像的🤩

自然地，最顶端的那个结点就叫做 根节点 (图中A结点)

此时引出树的概念：

树是一种非线性的数据结构，它是由 n (n>=0)个有限结点组成的一个具有层次关系的集合。

我们仔细来看看这颗树： 

从顶端开始，可以发现 根结点 以上是没有结点的，这里暂称为没有前驱结点

注意看，这棵树由根节点分出了三个方向，这三个箭头下又分别有一颗小树，我们称它们为子树。

把子树2拿出来再进行分割：

                                      

子树2下又有子树2.1...

子树下有子树，子树下又有子树... ...

怎么有点像，

递归？

是的，可以理解为 树是递归定义的 。

接下来跟我看看下面的结构是不是树： 

记住：这不是树，三条红边不能存在任意一条！！！

这部分的总结： 

• 树顶端的结点称为根节点，根节点没有前驱结点；

• 子树之间不能相交🍌；

• 除了根节点之外，每个结点有且仅有一个前驱节点；

• 一棵N个结点的树有N-1条边；

• 树是递归定义的。

2.有关树的概念

为了更好介绍树的有关概念，这里画一个更复杂的树：
 

• 结点的度：一个结点含有的子树个数（结点下的分支） 如结点A的度为5；

• 树的度：一棵树中最大的结点的度  如上树的度为5；

• 结点的层次：根是第1层，根的子节点所在层是第2层，如此递增；

• 树的高(深)度：最大的结点的层次  如上树的高(深)度是4；

• 叶子结点：度为0的结点（没有子树）  如结点 N，O；

• 双亲结点：如A是B，C，D，E，F的双亲结点；

• (孩)子结点：如B，C，D，E，F是A的(孩)子结点；

• 兄弟结点：具有相同双亲结点的子节点  如G，H；

• 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟结点  如H，I；

• 非终端结点/分支结点：度不为0的结点  如C，D，E...；

• 结点的祖先：从根节点所经分支上的所有结点  如A是所有结点的祖先；

3.树的表示 

毕竟是代码人，知道了树的结构，就要考虑怎么表示树比较好，

先来想想具体需要表示什么： 

一个是要存储的数据，

另一个是结点与结点之间的关系；

重点看后者：

要表示关系，最好是既能在一条线上深入，又能关系到临近的一条线。

我们想到了孩子与兄弟：

typedef int DataType;
struct Node

    struct Node* Child1; // 第一个孩子结点
    struct Node* brother; // 指向兄弟结点
    DataType data; // 结点中的数据域
;

除了孩子兄弟表示法这种最常见的表示法，此外还有双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法。

由于树的结构本身是具有不确定性的，所以这里不做深一步的实现，大家知道有这些表示方法就好。

4.树的实际应用

这里说个最典型的吧： 

文件资源管理器中的文件管理就是一个树结构：

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总结： 

这篇博客介绍了树，其实主要作用是为了后期二叉树做铺垫，大家了解它的结构，知道相关概念即可。 

码文不易 

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长沙理工大学第十二届ACM大赛-重现赛 大家一起来数二叉树吧 (组合计数)

大意: 求n结点m叶子二叉树个数.

 

直接暴力, $dp[i][j][k][l]$表示第$i$层共$j$节点, 共$k$叶子, 第$i$层有$l$个叶子的方案数, 然后暴力枚举第$i$层出度为1和出度为2的个数来转移.

复杂度虽然看上去是$O(n^6)$, 但实际上去掉多余状态后只有1178917, 可以通过.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define REP(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int P = 1e9+7, P2 = 998244353, INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 55;
int n, m;
int dp[N][N][N][N];
int f[N][N];
int fac[N], ifac[N], pow2[N];
ll inv(ll x){return x<=1?1:inv(P%x)*(P-P/x)%P;}

int main() {
	fac[0]=ifac[0]=pow2[0]=1;
	REP(i,1,50) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%P,ifac[i]=inv(fac[i]),pow2[i]=pow2[i-1]*2%P;
	dp[1][1][1][1] = 1;
	REP(i,1,50) REP(j,i,50) REP(k,1,j) REP(l,1,k) if (dp[i][j][k][l]) {
		REP(ii,0,l) { 
			int t = min({l-ii,(50-ii-j)/2,50-k});
			REP(jj,0,t) {
				int c = (ll)dp[i][j][k][l]*fac[l]%P*ifac[ii]%P*ifac[jj]%P*ifac[l-ii-jj]%P*pow2[ii]%P;
				(dp[i+1][j+ii+2*jj][k+jj][ii+2*jj]+=c)%=P;
			}
		}
		(f[j][k] += dp[i][j][k][l]) %= P;
	}
	for (int n,m; ~scanf("%d%d", &n, &m); ) printf("%d\n", f[n][m]);
}

 

看了其他人题解后发现可以直接$O(n^4)$的$dp$.

记$dp[i][j]$为$i$节点, $j$叶子的方案数, 枚举根节点左右子树的叶子数$x,y$, 就有

$dp[i][j]=\sum dp[x][y]dp[i-1-x][y]$