《算法竞赛中的初等数论》正文 0x00整除0x10 整除相关（ACM / OI / MO）（十五万字符数论书）

Posted 2022-08-19 繁凡さん

整理的算法模板合集： ACM模板

点我看算法全家桶系列！！！

实际上是一个全新的精炼模板整合计划

---

写在最前面：本文部分内容来自网上各大博客或是各类图书，由我个人整理，增加些许见解，仅做学习交流使用，无任何商业用途。因个人实力时间等原因，本文并非完全原创，请大家见谅。

目录

• 《算法竞赛中的初等数论》正文 0x00整除、0x10 整除相关（ACM / OI / MO）（十五万字符数论书）
• 0x00 整除
• 0x10 整除相关
• • 0x11 素数（质数）
  • • 0x11.1 素数的判定
    • 0x11.2 素数的筛法
    • 0x11.3 反素数
  • 0x12 $Z^{\ast }$ 与 $(Z_p^{\ast }{,}^{.})$结构
  • • 0x12.1 唯一分解定理（算数基本定理）
    • 0x12.2 $Z^{\ast }$结构中的一些定理
    • 0x12.3 $(Z_p^{\ast }{,}^{.})$结构
  • 0x13 最大公因数与最小公倍数
  • • 0x13.1 约数
    • 0x13.2 最大公约数
    • 0x13.3 最小公倍数
    • 0x13.4 GCD 与 LCM 的一些性质与定理
    • 0x13.5 补充知识： $Fibonacc$ 数列及其推论
  • 0x14 互质与欧拉函数
  • • 0x14.1 欧拉函数
    • 0x14.2 欧拉函数的性质
  • 0x15 容斥原理初探
  • 0x16 RSA原理

《算法竞赛中的初等数论》正文 0x00整除、0x10 整除相关（ACM / OI / MO）（十五万字符数论书）

《算法竞赛中的初等数论》（信奥 / 数竞 / ACM）前言、后记、目录索引（十五万字符的数论书）

全文目录索引链接： https://fanfansann.blog.csdn.net/article/details/113765056

---

0x00 整除

  数论的旅程，从整除开始。整除这个基本概念将贯穿数论始末，理解并掌握它是基础中的基础。

---

• 整除

定义：若整数 $n$ 除以整数 $d$ 的余数为 $0$，即 $d$ 能整除 $n$ ，则称 $d$ 是 $n$ 的约数，$n$ 是 $d$ 的倍数，记为 $d\mid n$。

• 整除的性质

性质00.1.1： $a\mid b,b\mid c\Rightarrow a|c$

性质00.1.2： $a\mid b\Rightarrow a\mid bc$， $c$ 为任意的整数。

性质00.1.3： $a\mid b,a\mid c\Rightarrow a\mid kb\pm lc$， $k$ 与 $l$ 均为任意的整数。（都有公因子 $a$，正确性显然）
拓展： $k_1,k_2$ 互质，则 $k_1+k_2$ 与 $k_1\times k_2$ 互质。（仅有 $a=1$ 能整除 $k_1,k_2$，故仅有 $a=1$ 能同时整除 $k_1+k_2$ 与 $k_1\times k_2$）

性质00.1.4：$a\mid b,b\mid a\Rightarrow a=\pm b$

性质00.1.5： $a=kb\pm c\Rightarrow a,b$ 的公因数与 $b,c$ 的公因数完全相同

性质00.1.6： 若 $a\mid bc$，且 $a$ 与 $c$ 互质，则 $a\mid b$

---

  性质 00.1.1 ~ 00.1.4 的正确性可由定义得到，正确性显然，这里仅给出性质00.1.5的证明。性质 00.1.6 涉及到互质的概念，具体性质与概念详见本文 0x14 互质与欧拉函数。

性质00.1.5的证明：

利用性质00.1.3，$(a|b,a|c\Rightarrow a|kb\pm lc)$ ，对于任意的 $a,b$ 的公因数$d$ ：$a=kb\pm c\Rightarrow c=\pm (a-kb)\Rightarrow d|c$

这里给出一个1987年的初中数学联赛真题帮助大家理解整除的相关概念与性质。

• 1987年全国初中数学联赛

$x,y,z$均为整数，若$11\mid (7x+2y-5z)$，求证：$11\mid (3x-7y+12z)$。

Solution

非常经典的一个问题，令 $a=(7x+2y-5z)，b=(3x-7y+12z)$ ，通过构造可以得到一个等式：$3a+4b=11(3x-2y+3z)$，则$4b=11(3x-2y+3z)-3a$。

性质00.1.2 $+$ 性质00.1.3，得出 $11\mid (11(3x-2y+3z)-4a)=11\mid 3b$。

性质00.1.6：，由于 $11$ 和 $3$ 互素，得出 $11以上是关于《算法竞赛中的初等数论》正文\; 0x00整除0x10\; 整除相关（ACM\; /\; OI\; /\; MO）（十五万字符数论书）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章$

《算法竞赛中的初等数论》正文 0x50筛法（ACM / OI / MO）（十五万字符数论书）

《算法竞赛中的初等数论》正文 0x60 原根（ACM / OI / MO）（二十万字符数论书）

《算法竞赛中的初等数论》正文 0x50筛法（ACM / OI / MO）（十五万字符数论书）

我的所有优质博客全部开源啦（我自己原创的《ACM模板》《算法全家桶》《算法竞赛中的初等数论》 PDF免费下载）

我的所有优质博客全部开源啦（我自己原创的《ACM模板》《算法全家桶》《算法竞赛中的初等数论》 PDF免费下载）

我的所有优质博客全部开源啦（我自己原创的《ACM模板》《算法全家桶》《算法竞赛中的初等数论》 PDF免费下载）