数值方法——薄板样条插值（Thin-Plate Spline）

Posted 2022-08-16 Vic时代

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数值方法——薄板样条插值（Thin-Plate Spline）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

插值

假设已知函数 $y=f(x)$ 在 $N+1$ 个点 $x_1,x_2,\\cdots,x_N+1$ 处的函数值 $y_1,y_2,\\cdots,y_N+1$ ，但函数的表达式 $f(x)$ 未知，那么可以通过插值函数 $p(x)$ 来逼近未知函数 $f(x)$ ，并且 $p(x)$ 必须满足

p(xk)=yk,k=1,2,⋯,N+1.(1) $p(x_k)=y_k, k=1,2,\\cdots,N+1. \\tag 1$

常见的插值函数的形式有多项式函数、样条函数。

多项式函数：令 $p(x)$ 为 $N$ 次多项式函数，于是 $p(x)$ 有 $N+1$ 个参数，而由公式(1)可知这 $N+1$ 个参数满足 $N+1$ 个约束条件，所以可以求出 $p(x)$ 的表达式。
样条函数：我们知道 $N$ 阶多项式函数必然有 $N-1$ 个极值点，所以得到的插值函数摆动会比较大，这有点像机器学习中的过拟合现象，可以用样条函数来避免这个问题。这里的样条函数其实就是分段函数，表示在相邻点 $x_k$ 和 $x_k+1$ 之间用低阶多项式函数 $S_k(x)$ 进行插值。分段线性插值和三次样条插值都属于样条插值。

TPS

本文介绍的TPS针对的是插值问题的一种特殊情况，并且TSP插值函数的形式也比较新颖。
考虑这样一个插值问题：自变量 $\\bf x$ 是2维空间中的一点，函数值 $\\bf y$ 也是2维空间中的一点，并且都在笛卡尔坐标系下表示。给定 $N$ 个自变量 $\\bf x_k$ 和对应的函数值 $\\bf y_k$ ，求插值函数

Φ(x)=[Φ1(x)Φ2(x)]， $\\Phi(\\bf x)=\\left[ \\beginmatrix \\Phi_1(\\bf x) \\\\ \\Phi_2(\\bf x)\\endmatrix\\right]，$

使得

yk=Φ(xk).(2) $\\bf y_k= \\Phi(\\bf x_k). \\tag 2$

我们可以认为是求两个插值函数 $\\Phi_1(\\bf x)$ 和 $\\Phi_2(\\bf x)$ 。

TPS插值函数形式如下：

Φ1(x)=c+aTx+wTs(x)(3) $\\Phi_1(\\bf x)=c + \\bf a^T \\bf x + \\bf w^T \\bf s(\\bf x) \\tag 3$

其中 $c$ 是标量，向量 $\\bf a \\in \\mathbb R^2 \\times 1$ ，向量 w∈以上是关于数值方法——薄板样条插值（Thin-Plate Spline）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

图形学插值函数理解与联系

数值计算方法实验之按照按三弯矩方程及追赶法的三次样条插值 (MATLAB 代码)

数值分析中的样条函数:使用scipy.interpolate.splrep函数实现

薄板样条形状变换运行时错误 [退出，代码 -1073741819]