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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了图相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

 

一.图的基本概念

1.无向图与有向图

此处要熟悉一下无序对与无序积的概念;

集合中有元素重复出现的话就称为多重集合,简称多重集,元素在多重集合中出现的次数称为该元素的重复度;

无向图:只有无向边的图

标定图:顶点标定了名字

非标定图:顶点未标定名字

有向图:只有有向边的图

n阶图:有n个顶点的图

零图:没有边

平凡图:一阶零图(只有一个顶点,没有边)

空图:顶点集为空

2.顶点的度数和握手定理

度数:关联边的条数,有向图的顶点度数又分为入度和出度

悬挂顶点:度数为1的顶点

悬挂边:与悬挂顶点相关联的边

握手定理:顶点的度数和 = 2*边数

推论:任何图,度数为奇数的顶点个数是偶数

3.简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图

平行边:无向图中,关联一对顶点的无向边多余一条(有向图中的平行边必须方向相同)

重数:平行边的条数

多重图:含平行边的图

简单图:不含平行边和环的图

完全图:图中任意一个顶点都与其余的n-1个顶点相邻

正则图:每个顶点的度数都是相等的,例如正多边形

圈图:边首尾相连

轮图:圈图里面放一个顶点,这个顶点与其他所以顶点相邻,例如:车轮

方体图:2^n阶无向简单图,顶点用0和1的组合来标记,相邻顶点仅有一位数字不同


4.子图、补图

子图:顶点和边都是母图里面的

导出子图:顶点为母图中所有顶点的子图

导出子图:顶点导出子图、边导出子图

5.图的同构

根据图的同构定义,可以给出图同构的必要条件
(1) 结点数目相等;
(2) 边数相等;
(3) 度数相同的结点数目相等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。

 

.图的连通性

1.通路与回路

2.无向图的连通性与连通度

 

.图的矩阵表示

1.无向图的关联矩阵

点与边

2.有向无环图的关联矩阵

3.有向图的邻接矩阵

点与点

4.有向图的可达矩阵

只有0和1

 

.几种特殊的图

1.二部图

又被称为偶图、双图、二分图)

是二部图的充要条件:图中无奇数长度的回路

需注意:最大匹配、完备匹配、完美匹配。

Hall定理

t条件

2.欧拉图

欧拉通路的定义

欧拉回路的定义

欧拉图:具有欧拉回路的图

条件:是连通图且无奇度顶点

格尼斯堡问题无解

3.哈密顿图

哈密顿通路

哈密顿回路

哈密顿图:是具有哈密顿回路的图

判定定理:1.根据连通分支的个数    2.有割点的图一定不是哈密顿图    3.d(u)+d(v)>=n则是哈密顿图

补个今天考试遇到的问题:某次会议有20人参加,某中每人都至少有10个朋友,这20人围一圆桌入席,要想使每个人相邻的两位都是朋友是否可能?根据是什么?

答案:证明  可用结点代表人,根据题意,两人是朋友时相应结点间连一条边,则得到一个无向图G=(V,E),可转化为求哈密顿回路问题.由于对任意结点u,v∈V,有d(u)10,d(v)10,因而d(u)+d(v)>=20.
根据求哈密顿回路的充分条件定理,可知G中存在哈密顿回路,G为哈密顿图

利用的定理:d(u)+d(v)>=n则是哈密顿图

4.平面图

边界定义

次数:边界的长度

定理:所有面的次数之和为边数的二倍

极大平面图的定义

平面图这块不是一般的重要
需要掌握的有
欧拉公式
n-m+r=p(G)+1
连通图的时候
n-m+r=2
库拉图斯基定理:
不含与K5和K3,3同胚的子图
对偶图:
n*=r   顶点==面数
m*=m   边数==边数
r*=n   面数==顶点数

待补充……

以上是关于图的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

欧拉回路

CF723E(欧拉回路)

欧拉回路与欧拉路径

hdu 1878 欧拉回路+并查集

POJ 1637 Sightseeing tour(混合图欧拉回路+最大流)

欧拉回路