算法刷题AcWing 99. 激光炸弹——前缀和

Posted 2022-08-07 Ricky_0528

地图上有 $N$ 个目标，用整数 $X_i,Y_i$ 表示目标在地图上的位置，每个目标都有一个价值 $W_i$。

注意：不同目标可能在同一位置。

现在有一种新型的激光炸弹，可以摧毁一个包含 $R\times R$ 个位置的正方形内的所有目标。

激光炸弹的投放是通过卫星定位的，但其有一个缺点，就是其爆炸范围，即那个正方形的边必须和 $x,y$ 轴平行。

求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标。

输入格式
第一行输入正整数 $N$ 和 $R$，分别代表地图上的目标数目和正方形的边长，数据用空格隔开。

接下来 $N$ 行，每行输入一组数据，每组数据包括三个整数 $X_i,Y_i,W_i$，分别代表目标的 $x$ 坐标，$y$ 坐标和价值，数据用空格隔开。

输出格式
输出一个正整数，代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。

数据范围
$0\le R\le 109$
$0\le N\le 10000$
$0\le X_i,Y_i\le 5000$
$0\le W_i\le 1000$
输入样例

2 1
0 0 1
1 1 1

输出样例

1

①分析

$$\begin{gathered} 首先矩形的边不一定是在整点上，故不能去枚举矩形的位置，情况太多了，因此需要换一种枚举方式 \\ 可以去枚举它一次能框出来的矩形矩阵，对于一个R\times R的矩形，一次最多可以框入R\times R个点 \\ 可以将点转化为一个一个的小方块，每次看矩形框入的小方块有多少个 \\ 矩形的边不能与小方块的边重合，这样的话边上的点都不能被炸到，结果不可能大，如下图所示 \\ 即每次可以摧毁一个(R-1)\times (R-1)的矩阵 \\ 因此只需要暴力枚举一下所有的(R-1)\times (R-1)上点的和最后求一个最大值即可 \\ 要快速的求和可以用二位前缀和 \\ 题目中R\le 10^9，但是X,Y\le 5000，故R\ge 5001就可以把整块区域全都摧毁，因此太大无意义 \end{gathered}$$

②代码

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 5010;
int s[N][N];

int main()

    int N, R;
    scanf("%d %d", &N, &R);
    R = min(R, 5001);
    
    while (N--)
    
        int x, y, w;
        scanf("%d %d %d", &x, &y, &w);
        x++, y++;
        s[x][y] += w;
    
    
    for (int i = 1; i <= 5001; i++)
        for (int j = 1; j <= 5001; j++)
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
            
    int res = 0;
    for (int i = R; i <= 5001; i++)
        for (int j = R; j <= 5001; j++)
            res = max(res, s[i][j] - s[i - R][j] - s[i][j - R] + s[i - R][j - R]);
            
    printf("%d\\n", res);
    
    return 0;

③细节分析

• 二位前缀和公式

  // 构造前缀和
  s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
  
  // 求一个边长为R - 1的矩形区域的值
  res = s[i][j] - s[i - R][j] - s[i][j - R] + s[i - R][j - R]
  

• R超过5001就无意义，因为坐标最大值就只有5000

  R = min(R, 5001);
  

• 读入数据

  while (N--)
  
      int x, y, w;
      scanf("%d %d %d", &x, &y, &w);
      x++, y++; // 前缀和下标要从1开始，因为会用到i - 1, j - 1，更好处理边界情况
      s[x][y] += w; // 不同目标可能在同一位置
  
  

• 构造二位前缀和

  for (int i = 1; i <= 5001; i++) // 下标统一+1，故最大可以到5001
      for (int j = 1; j <= 5001; j++)
      s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
  

• 利用二维前缀和求值

  int res = 0;
  for (int i = R; i <= 5001; i++) // 轰炸区域为RxR，故最小坐标从R开始
      for (int j = R; j <= 5001; j++)
          res = max(res, s[i][j] - s[i - R][j] - s[i][j - R] + s[i - R][j - R]);