算法刷题AcWing 97. 约数之和——递推
Posted Ricky_0528
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了算法刷题AcWing 97. 约数之和——递推相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
假设现在有两个自然数
A
A
A 和
B
B
B，
S
S
S 是
A
B
A^B
AB 的所有约数之和。
请你求出
S
m
o
d
9901
S\\ mod\\ 9901
S mod 9901 的值是多少。
输入格式
在一行中输入用空格隔开的两个整数 A 和 B。
输出格式
输出一个整数，代表 Smod9901 的值。
数据范围
0
≤
A
,
B
≤
5
×
1
0
7
0 \\leq A,B \\leq 5 \\times 10^7
0≤A,B≤5×107
输入样例
2 3
输出样例
15
注意： A A A 和 B B B 不会同时为 0 0 0
①分析
约数相关公式 已知： N = p 1 α 1 ⋅ p 2 α 2 . . . p k α k 约数个数 = ( α 1 + 1 ) ⋅ ( α 2 + 1 ) . . . ( α k + 1 ) 约数之和 = ( p 1 0 + p 1 + p 1 2 + . . . p 1 α 1 ) ⋅ ( p 2 0 + p 2 + p 2 2 + . . . p 2 α 2 ) . . . ( p k 0 + p k + p k 2 + . . . p k α k ) 约数相关公式\\\\ 已知：N=p_1^\\alpha_1·p_2^\\alpha_2...p_k^\\alpha_k\\\\ 约数个数=(\\alpha_1+1)·(\\alpha_2+1)...(\\alpha_k+1)\\\\ 约数之和=(p_1^0+p_1+p_1^2+...p_1^\\alpha_1)·(p_2^0+p_2+p_2^2+...p_2^\\alpha_2)...(p_k^0+p_k+p_k^2+...p_k^\\alpha_k)\\\\ 约数相关公式已知：N=p1α1⋅p2α2...pkαk约数个数=(α1+1)⋅(α2+1)...(αk+1)约数之和=(p10+p1+p12+...p1α1)⋅(p20+p2+p22+...p2α2)...(pk0+pk+pk2+...pkαk)
本题求的是 A B 可以先将 A 进行因式分解 = p 1 α 1 ⋅ p 2 α 2 . . . p k α k 则 A B = p 1 α 1 B ⋅ p 2 α 2 B . . . p k α k B ，就可以使用约数之和公式求解 下面要解决的就是 p 1 0 + p 1 + p 1 2 + . . . p 1 k − 1 怎么求，直接算会超时 法一：等比数列求和公式 = p k − 1 p − 1 ，分子用快速幂， 1 p − 1 就是求 p − 1 关于 9901 的逆元 法二：递归 = s u m ( p , k ) ，看其能否转化为更小的子问题 ① k 为偶数 s u m ( p , k ) = p 0 + p 1 + . . . + p k 2 − 1 + p k 2 ( p 0 + p 1 + . . . + p k 2 − 1 ) = ( 1 + p k 2 ) s u m ( p , k 2 ) ② k 为奇数 s u m ( p , k ) = p 0 + p ( p 0 + p 1 + . . . + p k − 2 ) = 1 + p s u m ( p , k − 1 ) = s u m ( p , k − 1 ) + p k − 1 本题求的是A^B\\\\ 可以先将A进行因式分解=p_1^\\alpha_1·p_2^\\alpha_2...p_k^\\alpha_k\\\\ 则A^B=p_1^\\alpha_1B·p_2^\\alpha_2B...p_k^\\alpha_kB，就可以使用约数之和公式求解\\\\ 下面要解决的就是p_1^0+p_1+p_1^2+...p_1^k-1怎么求，直接算会超时\\\\ 法一：等比数列求和公式=\\fracp^k-1p-1，分子用快速幂，\\frac1p-1就是求p-1关于9901的逆元\\\\ 法二：递归=sum(p,k)，看其能否转化为更小的子问题\\\\ ①k为偶数sum(p,k)=p^0+p^1+...+p^\\frack2-1+p^\\frack2(p^0+p^1+...+p^\\frack2-1)=(1+p^\\frack2)sum(p,\\frack2)\\\\ ②k为奇数sum(p,k)=p^0+p(p^0+p^1+...+p^k-2)=1+p\\ sum(p,k-1)=sum(p,k-1)+p^k-1 本题求的是AB可以先将A进行因式分解=p1α1⋅p2α2...pkαk则AB=p1α1B⋅p2α2B...pkαkB，就可以使用约数之和公式求解下面要解决的就是p10+p1+p12+...p1k−1怎么求，直接算会超时法一：等比数列求和公式=p−1pk−1，分子用快速幂，p−11就是求p−1关于9901的逆元法二：递归=sum(p,k)，看其能否转化为更小的子问题①k为偶数sum(p,k)=p0+p1+...+p《算法竞赛进阶指南》-AcWing-97. 约数之和 Sumdiv-题解