算法刷题AcWing 95. 费解的开关——递推

Posted 2022-08-05 Ricky_0528

你玩过“拉灯”游戏吗？

$25$ 盏灯排成一个 $5\times 5$ 的方形。

每一个灯都有一个开关，游戏者可以改变它的状态。

每一步，游戏者可以改变某一个灯的状态。

游戏者改变一个灯的状态会产生连锁反应：和这个灯上下左右相邻的灯也要相应地改变其状态。

我们用数字 $1$ 表示一盏开着的灯，用数字 $0$ 表示关着的灯。

下面这种状态

10111
01101
10111
10000
11011

在改变了最左上角的灯的状态后将变成：

01111
11101
10111
10000
11011

再改变它正中间的灯后状态将变成：

01111
11001
11001
10100
11011

给定一些游戏的初始状态，编写程序判断游戏者是否可能在 $6$ 步以内使所有的灯都变亮。
输入格式
第一行输入正整数 $n$，代表数据中共有 $n$ 个待解决的游戏初始状态。

以下若干行数据分为 $n$ 组，每组数据有 $5$ 行，每行 $5$ 个字符。

每组数据描述了一个游戏的初始状态。

各组数据间用一个空行分隔。
输出格式
一共输出 $n$ 行数据，每行有一个小于等于 $6$ 的整数，它表示对于输入数据中对应的游戏状态最少需要几步才能使所有灯变亮。

对于某一个游戏初始状态，若 $6$ 步以内无法使所有灯变亮，则输出 $-1$。
数据范围
$0<n<500$
输入样例

3
00111
01011
10001
11010
11100

11101
11101
11110
11111
11111

01111
11111
11111
11111
11111

输出样例

3
2
-1

①分析

$$\begin{gathered} 性质：Ⅰ每个灯最多按一次Ⅱ按的顺序无所谓 \\ 因为最终目标是将所有灯点亮，若先将第一行锁死，那么其下一行的按法被确定，即由前一行可以推出当前行的按法 \\ 以此类推，第二行被锁死，则第三行按法确定... \\ 只要第一行开关的状态确定，则所有开关的状态都可以被推出，因此只需要枚举第一行可能的状态即可 \\ 最后只需要检查最后一行有没有0即可判断该方案是否可行，可行再更新操作的次数 \end{gathered}$$

②代码

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int N = 6;
char g[N][N], backup[N][N];
int dx[4] = -1, 0, 1, 0, dy[4] = 0, 1, 0, -1;

void turn(int x, int y)

    g[x][y] = g[x][y] == '1' ? '0' : '1';
    for (int i = 0; i < 4; i++)
    
        int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
        if (a < 0 || a > 4 || b < 0 || b > 4)
            continue;
        g[a][b] = g[a][b] == '1' ? '0' : '1';
    


int main()

    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    
        for (int i = 0; i < 5; i ++ ) scanf("%s", backup[i]);
        
        int res = 8;
        for (int op = 0; op < 32; op++)
        
            memcpy(g, backup, sizeof(g));
            int cnt = 0;
            
            for (int i = 0; i < 5; i++)
                if (op >> i & 1)
                
                    turn(0, i);
                    cnt++;
                
                
            for (int i = 0; i < 4; i++)
                for (int j = 0; j < 5; j++)
                    if (g[i][j] == '0')
                    
                        turn(i + 1, j);
                        cnt++;
                    
            
            bool sc = true;
            for (int i = 0; i < 5; i++)
                if (g[4][i] == '0')
                    sc = false;
                    
            if (sc && cnt < res)
                res = cnt;
        
        
        if (res > 6)
            res = -1;
        printf("%d\\n", res);
    
    
    return 0;

③细节分析

• g[x][y] = g[x][y] == '1' ? '0' : '1';可以利用二进制改进为g[x][y] ^= 1

• op < 32：一行一共五个开关，则有$2^5=32$可能的组合

• 用枚举出来的第一行操作第二行，进行初始化

  for (int i = 0; i < 5; i++)
      if (op >> i & 1)
      
          turn(0, i);
          cnt++;
      
  

• 开始递推，用前一行确定下一行

  for (int i = 0; i < 4; i++)
      for (int j = 0; j < 5; j++)
          if (g[i][j] == '0')
          
              turn(i + 1, j);
              cnt++;
          
  

• 看最后一行是否有0，有0即当前方案不合法

  bool sc = true;
  for (int i = 0; i < 5; i++)
      if (g[4][i] == '0')
          sc = false;