[航海协会]SSSP

Posted 2022-08-03 StaroForgin

SSSP

题目概述

题解

首先让我们看看这道题，应该很容易先想到一个比较暴力的思路，就是不断让所有点都往前走一条边，然后维护到所有点前$K$小的路径长度。
显然，再之后的路径无论怎么走都无法成为前$K$小了，无论如何都至少有$K$条比它们小的路径，所以只维护前$K$小即可。
但这样做显然是$O\left(qm{K}^2\right)$的，考虑怎么优化。
可以发现，它们的转移都是符合矩阵的性质的，可以考虑把转移放到矩阵上去，然后就可以用矩阵维护了，先预处理出倍增矩阵，这样询问的时候也就只需要乘向量。
复杂度成功被优化到了$O\left((n+q)n^2{K}^2\log a+mK\right)$，显然还是跑不过考虑继续优化。

可以发现，${\sum }_{k=1}^n{M}_{i,k}{M}_{k,j}$都是会转移贡献到$M_{i,j}^{\prime }$，我们只用维护它的前$K$小，那么一种经典方法就是先将$M_{i,k}{M}_{k,j}$的最小的值放到堆里面去，每次选出所有数中最小的一个，放到$M_{i,j}^{\prime }$里面去，它是由$M_{i,k}{M}_{k,j}$构成的，然后将$M_{i,k}$或者$M_{k,j}$稍微调大一点放到堆里面去。
这样每次稍微调大肯定都是找到的稍微大点的一个，所有都必然在某个时刻被加入。
由于我们只找前$K$大，所以除了最开始加入的，都只会再加入$K$个。
这样的时间复杂度是$O\left((n+q)n(n+K)\log n\log a+mK\right)$。
但它还是会$T$的，显然，这里的复杂度瓶颈是在那个$n\log n$上面的，由于最开始的元素是比较多的，考虑线性建堆。
也就是后序遍历二叉树，当加入两个儿子的父亲时，看父亲是不是比儿子小，如果是就把较小的儿子调上来，父亲扔下去。
这样的话建堆是$\sum O(\frac{in}{2^i})\approx O(n)$的，复杂度就被优化到$O\left((n+q)n(n+K\log n)\log a+mK\right)$了，看上去就很能过了。
但如果你交上去的话你会发现你还是会被卡常了。
观察一下，我们的堆还是太大了，明明值需要前$K$小，却达到了$O\left(n\right)$级别的大小。
考虑$nth\_element$对于我们最开始的数组求出前$K$小再建堆，这样就会快不少。
时间复杂度也就达到了$O\left((n+q)n(n+K\log K)\log a+mK\right)$，基本不会被卡常了。

上面已经说了，时间复杂度$O\left((n+q)n(n+K\log K)\log a+mK\right)$。

源码

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
#define MAXM 2000005
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
const int INF=0x3f3f3f3f;
template<typename _T>
void read(_T &x)
   _T f=1;x=0;char s=getchar();
   while(s<'0'||s>'9')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
   while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
   x*=f;

template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int qkpow(int a,int s,int p)int t=1;while(s)if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;return t;
int n,m,Q,logtime,tota,totb,root,totc;
struct ming
    int x,y,z,w;ming()
    ming(int X,int Y,int Z,int W)x=X;y=Y;z=Z;w=W;
    bool operator < (const ming &rhs)constreturn w<rhs.w;
a[205];
struct node
    int dis[18];node()
    void clear()for(int i=1;i<=15;i++)dis[i]=INF;
;
class Treap
    private:
        int tot,lson[55],rson[55];ming tr[55];
    public:
        void check(int rt)
            if(!lson[rt]&&!rson[rt])return ;
            int lw=lson[rt]?tr[lson[rt]].w:INF;
            int rw=rson[rt]?tr[rson[rt]].w:INF;
            if(lw<=rw&&lw<tr[rt].w)swap(tr[rt],tr[lson[rt]]),check(lson[rt]);if(tr[lson[rt]].w>INF-1)lson[rt]=0;
            else if(rw<tr[rt].w)swap(tr[rt],tr[rson[rt]]),check(rson[rt]);if(tr[rson[rt]].w>INF-1)rson[rt]=0;
        
        void build(int &rt,int l,int r)
            int mid=l+r>>1;rt=++tot;tr[rt]=a[mid];
            if(l<mid)build(lson[rt],l,mid-1);
            if(r>mid)build(rson[rt],mid+1,r);
            check(rt);
        
        ming ask()return tr[root];
        void pop()tr[root].w=INF;check(root);if(tr[root].w>INF-1)root=0;
        void insert(ming aw)
            if(!root)root=++tot;tr[tot]=aw;return ;
            int now=root[航海协会]树

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