Matlab数学建模多元二项式回归

Posted 2023-02-17 九死九歌

一、模型

1.建模

$$\{\begin{array}{r}y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+\cdots +{\beta }_m{x}_m+\epsilon ,\\ \\ \epsilon \sim N(0,{\sigma }^2),\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
  ${\beta }_0,{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m$称为回归系数，$\epsilon$是随机误差。

  现得到n个独立观测数据$[b_i,a_{i1},\cdots ,a_{im}]$，其中$b_i$为y的观测值，而$a_{i1},\cdots ,a_{im}$为x的观测值11。（$i=1,\cdots ,n,n>m$）

  由$(1)式$知：

$$\{\begin{array}{r}{b}_i={\beta }_0+{\beta }_1{a}_{i1}+\cdots +{\beta }_m{a}_{im}+\epsilon ,\\ \\ \epsilon \sim N(0,{\sigma }^2),i=1,\cdots ,n,\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

  记：

$$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cccc}1& a_{11}& \cdots & a_{1m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& a_{n1}& \cdots & a_{nm}\end{array}\right),\mathbf{Y}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(3)}$$
$$\mathbf{\epsilon }=[{\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_n{]}^T,\mathbf{\beta }=[{\beta }_0,{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n{]}^T$$

  则(1)可以表示为：

$$\{\begin{array}{r}\mathbf{Y}=\mathbf{X}\mathbf{\beta }+\mathbf{\epsilon },\\ \\ \mathbf{\epsilon }\sim N(0,{\sigma }^2{E}_n),\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

  其中