手撕STLAVL树
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了手撕STLAVL树相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
AVL树
AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，找到了解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
AVL树的性质：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
- 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O(logN)，搜索时间复杂度O(logN)。
注：平衡因子=右子树的高度-左子树的高度
平衡因子更新规则：
- 插入更新的节点在父亲的左边，父亲平衡因子–；插入更新的节点在父亲的右边，父亲平衡因子++
- 父亲的平衡因子更新以后是-1或者1，说明父亲所在子树的高度变了，需要继续往上更新
- 父亲的平衡因子更新以后是0，说明父亲所在子树的高度没变，不需要继续往上更新
- 父亲的平衡因子更新以后是-2或者2，说明父亲所在子树已经不平衡了，需要旋转处理使它平衡
- 更新以后，更新到了根节点就不需要在更新了
AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
a，b，c是高度为h的AVL子树，他们有无数种情况，只要在a中插入节点，a的高度变为h+1，就会引发右单旋（h>=0）
右单旋操作：
- b子树变成60的左子树
- 60成为30的右子树，30成为这棵树的根
- 30和60的平衡因子变为0
新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
a，b，c是高度为h的AVL子树，只要c这棵子树的高度变为h+1，就会引发左单旋
左单旋操作：
- b子树变成30的右子树
- 30成为60的左子树，60成为这棵树的根
- 30和60的平衡因子变为0
新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
操作：
- 先以30为旋转点，进行左单旋
- 以90作为旋转点进行右单旋
新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
操作：
- 先以90为旋转点，进行右单旋
- 以30作为旋转点进行左单旋
双旋平衡因子更新问题：
双旋以后的结果：
- b变成30的右边
- c变成60的左边
- 30和90分别变成60的左边和右边，60成为新的根
总结：
- 旋转的本质：在遵循搜索树的规则情况，让左右均衡，并且降低整棵树的高度
- 更新平衡因子的过程中，引发旋转的路径是直线就是单旋，如果是折线就是双旋
总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
- pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
- 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
- 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
- pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
- 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
- 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
AVL树的实现
#pragma once
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<assert.h>
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
, _bf(0)
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
int _bf; //balance factor= 右树的高度-左树的高度
;
template<class K,class V>
class AVLTree
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
AVLTree()
:_root(nullptr)
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
if (_root == nullptr)
_root = new Node(kv);
return true;
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
if (cur->_kv.first < kv.first)
parent = cur;
cur = cur->_right;
else if (cur->_kv.first > kv.first)
parent = cur;
cur = cur->_left;
else
return false;
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first > kv.first)
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
else
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
//控制树的平衡
while (parent)
//更新平衡因子
if (parent->_left == cur)
parent->_bf--;
else
parent->_bf++;
//检查父亲的平衡因子
//父亲所在子树的高度不变，不影响祖先，跟新结束
if (parent->_bf == 0)
break;
//父亲所在子树高度变了，继续往上更新
else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
cur = parent;
parent = cur->_parent;
//父亲所在子树的出现了不平衡，需要旋转处理
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
RotateR(parent);
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
RotateL(parent);
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
RotateLR(parent);
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
RotateRL(parent);
else
assert(false);
break;
else
assert(false);
return true;
void RotateR(Node* parent)
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
else
if (ppNode->_left == parent)
ppNode->_left = subL;
else
ppNode->_right = subL;
subL->_parent = ppNode;
subL->_bf = parent->_bf = 0;
void RotateL(Node* parent)
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
else
if (ppNode->_left == parent)
ppNode->_left = subR;
else
ppNode->_right = subR;
subR->_parent = ppNode;
subR->_bf = parent->_bf = 0;
void RotateLR(Node* parent)
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == 1)
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
else if (bf == -1)
parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
else if (bf == 0)
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
else
assert(false);
void RotateRL(Node* parent)
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
else if (bf == -1)
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
else if (bf == 0)
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
else
assert(false);
int Height(Node* root)
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? ++leftHeight : ++rightHeight;
bool IsBalance()
return _IsBalance(_root);
private:
bool _IsBalance(Node* root)
if (root == nullptr)
return true;
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << endl;
return abs(rightHeight - leftHeight) < 2 && _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
Node* _root;
;
AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
- 验证其为二叉搜索树
- 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
- 验证其为平衡树
- 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
- 节点的平衡因子是否计算正确
- 验证用例
- 常规场景:16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15
- 特殊场景:4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14
AVL树的删除:
- 按二叉搜索树的思路进行删除
- 更新平衡因子（删除左节点，该父亲节点++；删除右节点，该父亲节点–）
- 当父亲节点平衡因子为1或者-1时，不需要往上更新；当父亲节点平衡因子为0时，需要往上更新
- 如果出现不平衡，进行旋转（注意父节点的平衡因子（高度变了））
AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即logN 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
以上是关于手撕STLAVL树的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章