三角波与三角波卷积
Posted 卓晴
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了三角波与三角波卷积相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
简 介： 根据信号与系统答疑过程中，学生对于三角形信号卷积结果的疑惑，给出了相应的数值、理论、以及频谱分析的解答。特别是后面频谱分析部分也是由另外参加答疑的同学提出的。之所以这个题目会产生疑问，主要原因来自于卷积计算“图解法”所带来的误导。 图解方法只能帮助确定卷积的阶段和积分上下限，求解卷积结果还是需要根据实际信号函数进行计算。
关键词： 信号与系统，卷积，三角脉冲信号
§01 三角波卷积
一、答疑碰到的问题
这两天信号与系统期末考试答疑中，多次碰到学生询问起一个课堂练习的习题。也就是为什么两个等腰三角形的卷积是答案（C）：一个类似于升余弦的光滑曲线，而不是答案（B）一个尖顶的脉冲。此时才意识到这个问题的确有和直觉相违背的地方。
▲ 图1.1.1 三角波与自身的卷积波形：选择题
通过分析，造成判断错误的来源，实际上是误用了求解卷积过程中的“图解法”。 图解方法通过把卷积的数学运算转换成信号波形的变化，帮助确定卷积阶段和积分的上下限。但往往也会对卷积结果产生误导，即部分同学会将两个图像重叠对应的图像面积当做求解的结果，但这种情况只能发生在一个信号是常量的情况。
▲ 图1.1.2 对于简单信号所使用的图解方法
二、问题分析
这两天答疑过程中，学生也给出了对于这个问题很好的解释。下面给出相应的总结：
1、数值求解
下面是通过数值求解反映的 一些等腰三角形与其自身卷积的结果，结果说明了两个等腰三角学卷积的确是一个一阶导数光滑的曲线。
▲ 图1 三角波与三角波相互卷积
2、理论分析
对于这类有限长度的简单信号，在求解它们之间相互卷积的时候，同时使用“图解法”帮助确定积分的区间。由于两个三角波形自身都具有两个变化阶段一个是上升阶段，一个是下降阶段。它们的长度相同，所以通过简单分析可以知道这两个三角波卷积过程，它们重合情况可以分成四个阶段，如下图所示。 当 t t t 不在这四个阶段的时候，两个三角形不重合，卷积结果为 0。
▲ 图1.2.2 卷积过程中四个不同的重叠阶段
由于参与卷积的信号左右对称，所以只需要对于第一、第二阶段进行求解；然后将结果偶对称得到信号在 t > 0 t > 0 t>0 之后的结果。
（1）第一个阶段
在 t ∈ ( − 2 , 1 ) t \\in \\left( - 2,1 \\right) t∈(−2,1) 时，两个三角形的重叠范围是 [ − 1 , t + 1 ] \\left[ - 1,t + 1 \\right] [−1,t+1] 。此时对应的卷积运算为 f ( t ) ∗ f ( t ) = ∫ − 1 t + 1 − ( τ − t − 1 ) ⋅ ( τ + 1 ) d τ f\\left( t \\right) * f\\left( t \\right) = \\int_ - 1^t + 1 - \\left( \\tau - t - 1 \\right) \\cdot \\left( \\tau + 1 \\right)d\\tau f(t)∗f(t)=∫−1t+1−(τ−t−1)⋅(τ+1)dτ = ∫ − 1 t + 1 ( − τ 2 + t ⋅ τ + t + 1 ) d τ = \\int_ - 1^t + 1 \\left( - \\tau ^2 + t \\cdot \\tau + t + 1 \\right)d\\tau =∫−1t+1(−τ2+t⋅τ+t+1)dτ = − 1 3 τ 3 ∣ − 1 t + 1 + t 2 τ 2 ∣ − 1 t + 1 + ( t + 1 ) ⋅ ( t + 2 ) = \\left. - 1 \\over 3\\tau ^3 \\right|_ - 1^t + 1 + \\left. t \\over 2\\tau ^2 \\right|_ - 1^t + 1 + \\left( t + 1 \\right) \\cdot \\left( t + 2 \\right) =−31τ3∣∣∣∣−1t+1+2tτ2∣∣∣∣−1t+1+(t+1)⋅(t+2) = − 1 3 [ ( t + 1 ) 3 − 1 ] + t 2 [ ( t + 1 ) 2 − 1 ] + ( t + 1 ) ⋅ ( t + 2 ) = - 1 \\over 3\\left[ \\left( t + 1 \\right)^3 - 1 \\right] + t \\over 2\\left[ \\left( t + 1 \\right)^2 - 1 \\right] + \\left( t + 1 \\right) \\cdot \\left( t + 2 \\right) =−31[(t+1)3−1]+2t[(t+1)2−1]+(t+1)⋅(t+2) = t 3 6 + t 2 + 2 t + 4 3 = t^3 \\over 6 + t^2 + 2t + 4 \\over 3 =6t3+t2+2t+34
这个求解化简过于繁琐，使用Python中的符号求积分软件包可以帮助进行求解
t,T = symbols('t,T')
result = integrate(-(T-t-1)*(T+1),(T,-1,t))
（2）第二阶段
在 t ∈ ( − 1 , 0 ) t \\in \\left( - 1,0 \\right) t∈(−1,0) ，参与卷积的信号重叠方式为如下图所示，重叠区域为 ( − 1 , t + 1 ) \\left( - 1,t + 1 \\right) (−1,t+1) 。
▲ 图1.2.3 在第二阶段两个三角形重叠以及求解积分过程
按照信号不同的分段，求解积分需要分成三个区域，它们分别是 ( − 1 , t ) , ( t , 0 ) , ( 0 , t + 1 ) \\left( - 1,t \\right),\\left( t,0 \\right),\\left( 0,t + 1 \\right) (−1,t),(t,0),(0,t+1) 。
在区域
(
−
1
,
t
)
\\left( - 1,t \\right)
(−1,t) 中积分表达式为
以上是关于三角波与三角波卷积的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 急！！！用运算放大器设计一个方波、正弦波、三角波的信号发生器