平衡二叉树

Posted 2022-06-07 欣麒骥

前面我写了一篇二叉排序树，最后我们提到提高二叉排序树的查找效率是让二叉树的形状均衡，所以就引入了平衡二叉树。

特点：

• 一种特殊类型的二叉排序树

• 所有结点的左、右子树深度之差的绝对值≤1

• 左右子树是平衡二叉树；

平衡因子：该结点左子树和右子数的高度差

任意一个结点的平衡因子只能取：-1、0或1；如果树中任意一个结点的平衡因子的绝对值大于1，则这棵二叉树就失去平衡，不再是AVL树；

对于一棵有n个结点的AVL树，其高度保持在O（log2n）数量级，ASL也保持在O（log2n）量级。

如果在一棵AVL树中插入一个新结点，就有可能造成失衡，此时必须重新调整树的结构，使之恢复平衡。我们称调整平衡过程为平衡旋转。

调整方法：找到最小不平衡子树，可将重新平衡的范围局限于这棵子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各个结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。

最小不平衡子树:离插入结点最近且平衡因子绝对值超过1的祖先结点，以该结点为根的子树称为最小不平衡子树。

假设最小不平衡子树的根结点为A，则失去平衡后进行调整的规律可归纳为以下四种情况。

• LL平衡旋转

• RR平衡旋转

• LR平衡旋转

• RL平衡旋转

1）LL平衡旋转：

若在A的左子树的左子树插入结点，使A的平衡因子从1增加到2，需要进行一次向右顺时针旋转。（以B为旋转轴）

2）RR平衡旋转：

若在A的右子树上插入结点，使A的平衡因子从-1
增加至-2，需要进行一次逆时针旋转。（以B为旋转轴）

3）LR平衡旋转：

若在A的左子树的右子树上插入结点，使A的平衡因子从1增加到2，需要先进行逆时针旋转，再顺时针旋转。（以插入的结点C为旋转轴）

4）RL平衡旋转：

若在A的 右子树的左子树上插入结点，使A的平衡因子从-1增加到-2，则需要先进行顺时针旋转，再进行逆时针旋转。(以插入的结点C为旋转轴)