HDU 1978 How many ways （DP）

Posted 2022-06-04 AC_Arthur

一个比较简单的DP，希望读者在看题解之前再自己想想，争取自己AC 。

这是一个计数问题，问你从（1,1）点到（n，m）点的行走方案数，因为还有一个能量问题，一开始我为了将状态表示完整，试着开三维数组记忆化搜索，用d[i][j][k]表示当前在i，j点还有k个能量的方法数，但是总得不到正确的答案，后来我发现这么做是不正确的，为什么呢？我们要明确一点，动态规划的特点是具有很多重叠子问题，大的最优解依赖于局部最优解，且每一个状态都具有相似的意义 。 请读者注意最后一句话，这很重要 。 我们先来看题目的要求，求起点到n，m点的方案数，那么也就是说我们在n，m点一定停了，具有该点的能量，而我之前的那个表示方法却会出现很多这样的情况：在某个点却不拥有该点的能量 。简单的说，我们应该有一个具有相同意义的状态表示，用d[i][j]表示从起点到i，j点的方案数，是不是和要求的最终问题的表示方法是一样的？  

明白了这点，状态转移就很好写了，对于每一个状态，枚举所有可能到达的点，将状态转移过去。

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细节参见代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<list>
#include<cmath>
#include<set>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 100000000;
const int mod = 10000;
const long long maxn = 110;
int T,n,m,d[maxn][maxn],a[maxn][maxn];
int dp(int i,int j) 
    if(i==n&&j==m) return 1;
    int& ans = d[i][j];
    if(ans != -1) return ans;
    ans = 0;
    for(int k=i;k<=n;k++) 
        for(int l=j;l<=m;l++) 
            if(k==i&&l==j) continue;
            if(k-i+l-j <= a[i][j]) ans = (ans + dp(k,l))%mod;
            else break;
        
    
    return ans;

int main() 
    scanf("%d",&T);
    while(T--) 
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
        memset(d,-1,sizeof(d));
        int ans = dp(1,1);
        printf("%d\\n",ans);
    
    return 0;