LeetCode 51.N皇后

Posted 2022-05-31 Tisfy

【LetMeFly】51.N皇后

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/n-queens/

n 皇后问题 研究的是如何将n个皇后放置在n×n的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中'Q'和'.'分别代表了皇后和空位。

笔者注：

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子

这个可能一些中国小朋友不知道，因此已经在Github提交issue啦

示例 1:

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2:

输入：n = 1
输出：[["Q"]]

提示:

• $1\le n\le 9$

题目大意

给你一张n×n的棋盘，让你往上放置n个皇后。这些皇后满足：任意两皇后不在同一行、不在同一列、不在同一斜线上。

思路

我们可以定义一个函数goon(int line)，来在当前棋盘状态下，继续往第line行落子。

void goon(int line)   // 该放第line行了
    如果已经放满了：
        说明当前状态是一个可行的最终状态
        当前棋盘加入答案、结束递归

    否则：
        遍历这一行所有位置，看每个位置是否能放
        对于某个位置：
            如果能放：
                就放一个“皇后”
                继续递归模拟下一行
                模拟结束后撤销这个皇后，判断下一个位置是否可行
            否则：
                不做操作，继续判断下一个位置

至于上文中的“判断一个位置是否能放”，实现方法为：

bool ifOk(int x, int y)   // 往(x, y)放置一个皇后是否可行
    遍历这一行，如果已有皇后，就返回false
    
    遍历这一列，如果已有皇后，就返回false

    接下来是对角线上的位置。同一正对角线上的元素满足“横坐标-纵坐标值相等”，同一负对角线上的元素满足“横坐标+纵坐标值相等”。
    遍历每一行，求出这一行中和(x, y)位于同一对角线上的位置，如果已有皇后，就返回false
    
    如果前面都没有返回false，说明这是一个合法的位置，就return true;

方法一：回溯

思路中已经描述地差不多了，接下来就是具体实现可参考代码注释

• 时间复杂度$O(n!)$
• 空间复杂度$O(n)$

AC代码

C++

class Solution 
private:
    vector<string> a;
    vector<vector<string>> ans;
    int n;
    bool ifOk(int x, int y)   // 往(x, y)放置一个皇后是否可行
        for (int j = 0; j < n; j++) 
            if (a[x][j] == 'Q') 
                return false;
            
        
        for (int i = 0; i < n; i++) 
            if (a[i][y] == 'Q') 
                return false;
            
        
        for (int i = 0; i < n; i++) 
            // i + j = x + y
            int j = x + y - i;
            if (j >= 0 && j < n && a[i][j] == 'Q') 
                return false;
            
            // i - j = x - y
            j = i - x + y;
            if (j >= 0 && j < n && a[i][j] == 'Q') 
                return false;
            
        
        return true;
    
    void goon(int line)   // 该放第line行了
        if (line >= n) 
            ans.push_back(a);
            return;
        
        for (int j = 0; j < n; j++) 
            if (ifOk(line, j)) 
                a[line][j] = 'Q';
                goon(line + 1);
                a[line][j] = '.';
            
        
    
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) 
        this->n = n;
        string oneLine(n, '.');
        // a = vector<string>(oneLine, n);
        for (int i = 0; i < n; i++) 
            a.push_back(oneLine);
        
        goon(0);
        return ans;
    
;

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