判断函数y＝sinx＋x³的奇偶性？

Posted 2023-03-22

如果你想判断函数y=sin(x)+x^3的奇偶性，你可以这样做：

首先，函数y=sin(x)+x^3是一个多项式函数，它的奇偶性取决于最高次幂的系数是否为奇数。在这个例子中，最高次幂的系数是1，所以函数y=sin(x)+x^3是奇函数。

你可以使用以下代码来判断函数y=sin(x)+x^3的奇偶性：

如果你想在更多的x值处判断函数的奇偶性，你可以使用循环来遍历所有的x值，例如：

参考技术A

方法如下，请作参考：

若有帮助，
请采纳。

参考技术B 函数y＝sinx＋x^3是奇函数。
解：函数y＝sinx＋x^3的定义域为（-∞，＋∞）；那么在x∈R中任意x，则-x∈R，得
f（-x）＝sin（-x）＋（-x）^3
＝-sinx-x^3
∴f（-x）＋f（x）＝sinx＋x^3＋（-sinx-x^3）＝0，即f（-x）＝-f（x）
∴y＝sinx＋x^3在x∈R中是奇函数。 参考技术C f（⁻x）=sin（-x）+（-x）³
=-sinx-x³
f（x）=-f（-x），即f（x）为奇函数 参考技术D f(x)=sinx＋x³
f(-x)=sin(-x)＋(-x)³=-sinx-x³=-(sinx＋x³)
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)=sinx＋x³是奇函数。

使用定义判断函数的奇偶性

题目

判断函数 \\(f(x)=ln(x+\\sqrt1+x^2)\\) 的奇偶性。

解析

本题用到的知识点

\\(log_a(MN)=log_aM+log_aN\\)

在 MATLAB (下面的代码在 MATLAB 9.1.0.441655 (R2016b) 中测试通过) 中输入如下代码：

x=0:0.01:10;
semilogy(x,log(x))

可以绘制出 \\(y=ln(x)\\) 的图像：

图 1

有图像可以看到，自然对数 \\(ln(x)\\) 只在 \\((0,+\\infty)\\) 的区间里有定义，不符合对数函数或者偶数函数对于“定义域 \\(X\\) 关于原点对称”的要求。不过题目中的函数可以看作是一个符合函数，因此，我们还需要结合 \\(g(x)=x+\\sqrt1+x^2\\) 的定义域来确定 \\(f(x)\\) 的定义域。

因为：

\\(\\sqrt1+x^2>\\sqrtx^2>|x|>0\\)

则：

当 \\(x\\in (-\\infty,+\\infty)\\) 时 \\(x+\\sqrt1+x^2 > 0\\) 满足自然对数函数 \\(ln(x)\\) 对定义域的要求，而且，当 \\(x=0\\) 时，\\(f(x)=ln(1)=0\\), 也满足奇函数“当f(x)在原点处有定义时，f(0)=0”的要求。

到这里，定义域的问题解决了，下面要解决的是函数是关于 \\(y\\) 轴对称，还是关于原点对称的问题。

由于：

\\(f(x)=ln(x+\\sqrt1+x^2)\\)

\\(f(-x)=ln(-x+\\sqrt1+x^2)\\)

则：

\\(f(x)+f(-x)=ln(\\sqrt1+x^2+x)+ln(\\sqrt1+x^2-x)=ln[(\\sqrt1+x^2+x)(\\sqrt1+x^2-x)]=ln(1+x^2-x^2)=ln(1)=0\\)

上面的运算结果符合奇函数的定义，因此，\\(f(x)=ln(x+\\sqrt1+x^2)\\) 是一个奇函数。

此外，使用 WolframAlpha 画出的函数 \\(f(x)=ln(x+\\sqrt1+x^2)\\) 的图像如下：

图 2. 图片来自 https://www.wolframalpha.com/

由图像我们也可以看出这是一个奇函数。

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