蓝桥杯国赛 小数第n位（数论）

Posted 2022-05-20 风信子的猫Redamancy

蓝桥杯国赛 小数第n位（数论）

题目描述

我们知道，整数做除法时，有时得到有限小数，有时得到无限循环小数。

如果我们把有限小数的末尾加上无限多个 0，它们就有了统一的形式。

本题的任务是：在上面的约定下，求整数除法小数点后的第 n 位开始的 3 位数。

输入描述

输入一行三个整数：a b n，用空格分开。a 是被除数，b 是除数，n是所求的小数后位置（$0<a,b,n<10^9$）

输出描述

输出一行 3 位数字，表示：a 除以 b，小数后第 n 位开始的 3 位数字。

输入输出样例

示例

输入

1 8 1

输出

125

运行限制

• 最大运行时间：1s

• 最大运行内存: 256M

思路 🤔

这道题一开始来说，我是没什么思路的，第一个想的就是可以根据python的特性，直接打出后面的数字，就可以得出答案了，不过这方法都是答案错误的，可能由于题目中有一个补0的操作，所以导致错误。

接着就是一个暴力法，题目要求第n位的后三位，很显然只要我们把它变成整数，再%1000就可以了；其实也不一定非要全部变成整数，并且对于循环小数也是不可能变成整数的。所以我们只需要把第n+2位之前变成整数，%1000就可以了。，这样就可以解决我们的问题了，但是之后提交后，发现这个只能过60%的数据，后面的都是因为时间超限的，毕竟是暴力法。

# 暴力法求解
a,b,n = map(int,input().split())

s = ''

a = a%b
while len(s) < n+2:
    a =  a*10
    s += str(a//b)
    a = a%b

print(s[-3:])

根据前面的思路，实际上，我们就可以把答案转化为以下的公式
$$a/b\times 10^{n+2}\%1000$$
可以看到这个其实就是一个求逆元的操作，由于我们的模是1000，不是素数，不能使用费马小定理和扩展欧几里得来求逆元。所以可以转化为以下公式求 $x/d\%m=x\%(d\times m)/d$
$$a\times 10^{n+2}/(b\times 1000)\%1000$$
最后难点就在于求幂了，所以最后只要写一个快速幂的方法，就可以得出最后的结果，最后还要注意一个就是不足的需要补0

a,b,n = map(int,input().split())


def qpow(a,b,mod):
    ans = 1
    while b:
        if b&1:
            ans = ans*a%mod
        a = a*a%mod
        b = b>>1
    return ans
mod = 1000*b
x = a*qpow(10,n+2,mod)%mod//b
print("%03d"%x)