蓝桥杯国赛 对局匹配（DP）

Posted 2022-05-18 风信子的猫Redamancy

蓝桥杯国赛 对局匹配（DP）

题目描述

小明喜欢在一个围棋网站上找别人在线对弈。这个网站上所有注册用户都有一个积分，代表他的围棋水平。

小明发现网站的自动对局系统在匹配对手时，只会将积分差恰好是 K 的两名用户匹配在一起。如果两人分差小于或大于 KK，系统都不会将他们匹配。

现在小明知道这个网站总共有 N名用户，以及他们的积分分别是 $A_1,A_2,\cdots A_N$

小明想了解最多可能有多少名用户同时在线寻找对手，但是系统却一场对局都匹配不起来(任意两名用户积分差不等于 K)？

输入描述

输入描述

第一行包含两个个整数 N,K。

第二行包含 NN 个整数$A_1,A_2,\cdots A_N$

其中，$1\le N\le 10^5,0\le Ai\le 10^5,0\le K\le 10^5$

输出描述

输出一个整数，代表答案。

输入输出样例

示例

输入

10 0
1 4 2 8 5 7 1 4 2 8

输出

6

思路

这道题有点难，我也是参考了众多博客终于大概搞明白了，这道题简单来说就是一个动态规划的问题，这里是差值只要是k就不能同时选，所以会将差值为k的划分为一组，然后每一组进行动态规划就可以了
$$dp[i]=max(dp[i-k],dp[i-2k]+a[i])$$
首先最简单的就是k=0的情况，对于k=0的情况来说，我们只需要得到不同积分的数就可以了

而对于k不为0的情况，需要详细分析

• 首先把n个元素按照分数相差为k1的用户分为一组，例如第一组就是0,k,2k,3k…，第二组就是1,k+1,2k+1…等，这样每个组的用户不可能和其他组的用户匹配成功，因为他们之间的差不可能为k

• 其二目标就是在每一个分组里面选取尽量多的用户，这一部分我们就可以用动态规划来求解，选取尽可能多的人数。dp[i]表示前i个积分能获得的最大用户数（不能匹配的）

  • 如果 j 不上线，则 j-k 是会上线，所以人数就是j-k的人数
  • 如果 j 上线， 则不影响 j-2*k，所以j-2k可以上线，所以最后是j的人数j-2k的人数

• 最后就可以得到我们的动态规划的方程，最后进行求解
  $$dp[i]=max(dp[i-k],dp[i-2k]+a[i])$$

代码

n,k = map(int,input().split())

a = list(map(int,input().split()))
maxa = max(a)
from collections import Counter

c = Counter(a)
if k == 0:
    print(len(c))
else:
    # dp[i]表示前i个积分能获得的最大用户数（不能匹配的）
    dp = [0]*(maxa+1)
    ans = 0
    for i in range(0,k):
        maxindex = 0
        # 这里相当于分组，分为k,2k,3k....
        # 希望在每一分组中选择尽可能多的客户
        for j in range(i,maxa+1,k):
            if j - 2*k >= 0:
                # 如果 j 不上线，则j-k上线
                # 如果 j 上线， 则不影响j-2*k，所以j-2k可以上线
                dp[j] = max(dp[j-2*k]+c[j],dp[j-k])
            elif j - k >= 0:
                dp[j] = max(dp[j-k],c[j])
            else:
                dp[j] = c[j]
            maxindex = j
        ans += dp[maxindex]
    print(ans)