最大收益问题 线性规划网络流
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了最大收益问题 线性规划网络流相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
最大收益问题
一批实验 E=E1,E2… 需要仪器集合 I=I1,I2,I3…
进行Ei可盈利 pi 购入仪器Ii要花费ci
进行实验可盈利一定金额 没买一种仪器也要花费一定金额
怎样选实验 使得盈利最大?
实验净收益=选中实验项目收益 - 选中的仪器费用
选中实验项目收益=全部项目收益 - 未选中的项目收益
实验净收益= 全部项目收益 - (未选中的项目收益+选中的仪器费用)
切割线将图分为两部分 S T, S :选中的实验项目与仪器 T:未选中的实验项目与仪器
未选中的项目收益+选中的仪器费用= 切割线切中的边的容量
需要求出最小割 则 应该求出最大流
网络结构:
左为源点 右为汇点
中间从左到右有两层节点 第一层为实验项目 第二层为仪器
边:源点–>实验项目 容量为收益
每个实验项目到其依赖的仪器有边容量为正无穷
仪器–>汇点 容量为其花费
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
const int INF = 0x3fffffff;
const int N = 100;
const int M = 10000;
int top;
int h[N], pre[N], g[N];
bool flag[N]; //记录是否被选中
struct Vertex
int first;
V[N];
struct Edge
int v, next;
int cap, flow;
E[N];
void init();
void add_edge(int u, int v, int c);
void add(int u, int v, int c);
void set_h(int t, int n);
int Isap(int s, int t, int n);
void DFS(int s);
void print(int m,int n);
int main(int argc, char **argv)
int n, m, sum = 0, total;
int cost, num;
memset(flag, 0, sizeof(flag));
cout << "输入实验数m和仪器数量n:\\n";
cin >> m >> n;
init();
total = m + n;
cout << "依次输入实验产生的效益以及其需要的仪器编号 以0结束\\n";
for (int i = 1; i <= m; i++)
cin >> cost;
sum += cost;
add(0, i, cost);
while (cin >> num, num)
add(i, m + num, INF);
cout << "依次输入所有仪器的费用\\n";
for (int j = m + 1; j <= total; j++)
cin >> cost;
add(j, total + 1, cost);
cout << "最大净收益为:" << sum - Isap(0, total + 1, total + 2) << endl;
//输出一个最佳方案
print(m,n);
return 0;
void init()
memset(V, -1, sizeof(V)); //初始化V[all].first=-1
top = 0; //记录E[]使用到了那里了
//-->
void add_edge(int u, int v, int c)
//添加单条边
//参数 u v及u-->v边的容量c
E[top].v = v;
E[top].cap = c;
E[top].flow = 0;
//头插法
E[top].next = V[u].first;
V[u].first = top;
top++;
void add(int u, int v, int c)
//添加正负两边
add_edge(u, v, c);
add_edge(v, u, 0);
//-->
void set_h(int t, int n)
//标高函数,t源点 n汇点
queue<int> Q; //广度优先搜索
memset(h, -1, sizeof(h)); //初始化各结点的高为-1
memset(g, 0, sizeof(g)); //全部高度的结点数量为0
h[t] = 0; //汇点高度为0
Q.push(t); //汇点入队列
while (!Q.empty())
int v = Q.front();
Q.pop(); //对头出队列
++g[h[v]]; //高度为h[v]的数量+1
for (int i = V[v].first; i != -1; i = E[i].next)
//遍历结点v的临界点及v-->some
int u = E[i].v;
if (h[u] == -1)
//还没有标记过
h[u] = h[v] + 1;
Q.push(u); //入队列
cout << "Init hight Value\\n";
cout << "h[ ]=";
for (int i = 1; i <= n; i++)
cout << " " << h[i];
cout << endl;
//参数 s:源点 t:汇点 n:总结点个数
//返回值 网络最大流
int Isap(int s, int t, int n)
//isap增广算法
//初始化标高
set_h(t, n); //从t-->n
int ans = 0, u = s; //ans最大流量,u当前探索到的结点
int d;
while (h[s] < n)
int i = V[u].first;
if (u == s)
//当前在源点时
d = INF;
//搜索当前结点的邻接边
for (; i != -1; i = E[i].next)
int v = E[i].v; //u-->v
//判断是否满足探索条件:有可增量 且 h[u]-1=h[v]
if (E[i].cap > E[i].flow && h[u] - 1 == h[v])
u = v; //满足条件则当前位置移到v E[i]
pre[v] = i; //设置v结点的前驱为i 即记录边u------->v
//迭代最小增量
d = min(d, E[i].cap - E[i].flow);
if (u == t)
//探索到了汇点
printf("增广路径:%d", t);
while (u != s)
int j = pre[u]; //即增广路汇点的前驱边E[j]
E[j].flow += d; //E[j]流量增d
E[j ^ 1].flow -= d; //j的反向边流量-d
/*
^1:创建边时是成对创建的0^1=1 1^1=0 2^1=3 3^1=2
*/
u = E[j ^ 1].v;
cout << "---" << u;
printf("增流: %d\\n", d);
ans += d;
d = INF;
break; //找到一条可行邻接边,退出for循环,停止寻找可行邻接边
if (-1 == i)
//所有邻接边搜索完毕,无法前行
if (--g[h[u]] == 0)
//该高度结点只有1个,算法结束
break;
int hmin = n - 1;
for (int j = V[u].first; j != -1; j = E[j].next)
//搜索u的邻接边
if (E[j].cap > E[j].flow)
//有可增量
hmin = min(hmin, h[E[j].v]);
h[u] = hmin + 1;
printf("重贴标签后的高度\\n");
printf("h[ ]=");
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf(" %d", h[i]);
printf("\\n");
++g[h[u]]; //重新贴标签后该高度的结点数+1
if (u != s)
//当前结点不是源点
u = E[pre[u] ^ 1].v; //退回一步
return ans;
//分集合S与T 深度优先探索
//s:源点
void DFS(int s)
for(int i=V[s].first;~i;i=E[i].next)//遍历当前节点的邻接表
//容量大于流量 容量>流量这个项目肯定能盈利 但净盈利不能说是容量-流量
//可能这个实验的仪器费用被计费到了其他实验中,这个实验就不用花费这个仪器的钱了
//且cap==flow的项目也可能被选中的虽然看似不盈利但为别的项目做出了贡献
//但遍历到一个仪器节点时 这个仪器节点可能由多个实验共同承担费用 则 仪器到其实验节点有 cap=0 flow为负数
//则可以遍历到相关项目节点
if(E[i].cap>E[i].flow)
int u=E[i].v;
if(!flag[u])
flag[u]=true;
DFS(u);
//输出选中方案
void print(int m,int n)
DFS(0);
cout<<"选中实验:\\n";
for(int i=1;i<=m;i++)
if(flag[i])
cout<<i<<" ";
cout<<"\\n选中的仪器:\\n";
for(int i=m+1;i<=m+n;i++)
if(flag[i])
cout<<i-m<<" ";
cout<<"\\n";
/*
test sample
5 15
20 2 4 8 11 0
38 1 5 14 0
25 2 5 7 15 0
17 1 3 6 9 13 0
22 10 12 15 0
2 7 4 8 10 1 3 7 5 9 15 6 12 17 8
result:
最大净收益为:23
选中实验:
2 3 5
选中的仪器:
1 2 5 7 10 12 14 15
*/
以上是关于最大收益问题 线性规划网络流的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章