数学建模竞赛中的两个技巧
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数学建模竞赛中的两个技巧相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
文章目录
1. 数据拟合与最优化方法
1.1. 数据拟合
数据拟合是为了连续化离散的数据，以方便微积分工具在数据上的使用。
例如有数据x代表温度，y代表产量：
x1 = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
如图：
怎么去计算温度
x
=
5.5
x=5.5
x=5.5时，产量
y
y
y的大小呢？这就需要用到数据拟合了，通过拟合来将离散的数据点串成连续的函数，就可以计算出函数上任意一点的值。当然拟合的作用不止于此。
下面我们用一组二维数据和一组三维数据来展示MatLab中多种回归拟合模型的使用。
二维数据
x1 = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
三维数据
x1 = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
x2 = [5 4 3 2 0 9 10 15 19];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
1.1.1. 线性回归 fitlm
https://ww2.mathworks.cn/help/stats/fitlm.html?lang=en
film的输入：
- X，即自变量矩阵；
- Y，即因变量值。
film的输出：
- 回归表达式(Linear regression model)，即线性回归表达式；
- 常数项(Intercept)，即回归表达式中常数项的值；
- 系数估计值(Estimate)，即回归表达式中的系数值；
- 标准误差(Standard Error, SE)，即系数的标准误差；
- t统计量(tStat)，即每个系数的 t 统计量，tStat = Estimate/SE；
- t 统计量的 p 值(pValue)，即假设检验的 t 统计量的 p 值；
- 其余参数查看matlab官网 https://ww2.mathworks.cn/help/stats/fitlm.html?lang=en。
% 拟合x1与y
x1 = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
mdl = fitlm(x1,y);
disp(mdl);
输出：
Linear regression model:
y ~ 1 + x1
Estimated Coefficients:
Estimate SE tStat pValue
________ _______ _______ _______
(Intercept) 3.0278 4.3607 0.69434 0.50985
x1 0.68333 0.77491 0.88182 0.40713
表达式为： y = 3.0278 + 0.6833 x 1 y=3.0278+0.6833x_1 y=3.0278+0.6833x1
% 拟合x1、x2与y
x1 = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
x2 = [5 4 3 2 0 9 10 15 19];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
mdl = fitlm([x1', x2'],y); % x1'是x1向量转置的意思
disp(mdl);
输出：
Linear regression model:
y ~ 1 + x1 + x2
Estimated Coefficients:
Estimate SE tStat pValue
________ _______ _______ ________
(Intercept) 5.0714 2.7551 1.8407 0.11526
x1 -1.4922 0.7824 -1.9072 0.10512
x2 1.1866 0.33762 3.5147 0.012599
Number of observations: 9, Error degrees of freedom: 6
Root Mean Squared Error: 3.71
R-squared: 0.706, Adjusted R-Squared 0.608
F-statistic vs. constant model: 7.2, p-value = 0.0255
表达式为：
y
=
5.0714
−
1.4922
x
1
+
1.1866
x
2
y=5.0714-1.4922x_1+1.1866x_2
y=5.0714−1.4922x1+1.1866x2
1.1.2. 多项式线性回归 regress
https://ww2.mathworks.cn/help/stats/regress.html?lang=en
regress的输入：
- Y，即因变量值;
- X_matrix，即自变量表达式矩阵，可自定义。
regress的输出：
- 系数估计值(b)，即多元线性回归的系数估计值；
- 95% 置信区间(bint)，即系数估计值的 95% 置信区间的矩阵；
- 其余参数查看matlab官网 https://ww2.mathworks.cn/help/stats/regress.html?lang=en。
```python
% 拟合x1与y
x1 = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
X = [ones(size(x1')), x1'];
[b, bint] = regress(y', X);
disp(b);
输出：
b=
3.0278
0.6833
表达式为： y = 3.0278 + 0.6833 x 1 y=3.0278+0.6833x_1 y=3.0278+0.6833x1
% 拟合x1、x2与y
x1 = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
x2 = [5 4 3 2 0 9 10 15 19];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
X = [ones(size(x1')), x1'.^3, x2']; % 注意这里给自变量x1加上了3次方
[b, bint] = regress(y', X);
disp(b);
输出：
b=
0.9233
-0.0089
1.0100
表达式为：
y
=
0.9233
−
0.0089
x
1
3
+
1.0100
x
2
y=0.9233-0.0089x_1^3+1.0100x_2
y=0.9233−0.0089x13+1.0100x2
1.1.3. 多项式非线性回归 polyfit
https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/polyfit.html?lang=en
polyfit的输入：
- X，即自变量值；
- Y，即因变量值；
- n，即多项式次数；
polyfit的输出：
- 系数估计值§，即次数为 n 的多项式 p(x) 的系数；
- 误差估计值(s)，s是一个结构体，记录了误差估计值信息；
- 矩 μ \\mu μ，分别记录了一阶矩 μ ( 1 ) \\mu(1) μ(1)和二阶矩 μ ( 2 ) \\mu(2) μ(2)；
- 其余参数查看matlab官网 https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/polyfit.html?lang=en。
% 拟合x1与y
x1 = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
[p, S, mu] = polyfit(x1, y, 1);
disp(p);
输出：
p=
1.8714 6.4444
表达式为： y = 1.8714 ∗ x 1 + 6.4444 ∗ x 0 y=1.8714*x^1+6.4444*x^0 y=1.8714∗x1+6.4444∗x0
% 拟合x1与y
x1 = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
[p, S, mu] = polyfit(x2, y, 2); % 这里变成了2
disp(p);
输出：
p=
6.1445 1.8714 0.9827
表达式为：
y
=
6.1445
∗
x
1
2
+
1.8714
∗
x
1
1
+
0.9827
∗
x
1
0
y=6.1445*x_1^2+1.8714*x_1^1+0.9827*x_1^0
y=6.1445∗x12+1.8714∗x11+0.9827∗x10
1.1.4. 自定义非线性回归 fit
https://ww2.mathworks.cn/help/curvefit/fit.html
fit的输入：
- X，即自变量值；
- Y，即因变量值；
- fitType，即拟合函数；
fit的输出：
- 拟合模型(fitobject)
- 其余参数查看matlab官网 https://ww2.mathworks.cn/help/curvefit/fit.html。
% 拟合x1与y
x1 = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
fitobject = fit(x1', y', 'poly2'); % ploy2表示x1的最高项次数为2
disp(fitobject);
输出：
Linear model Poly2:
fitobject(x) = p1*x^2 + p2*x + p3
Coefficients (with 95% confidence bounds):
p1 = 0.8193 (0.4354, 1.203)
p2 = -7.509 (-11.45, -3.573)
p3 = 18.05 (9.476, 26.62)
表达式为： y = 0.8193 ∗ x 1 2 − 7.509 ∗ x 1 1 + 18.05 y=0.8193*x_1^2-7.509*x_1^1+18.05 y=0.8193∗x12−7.509∗x11+18.05
% 拟合x1、x2与y
x1 = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
x2 = [5 4 3 2 0 9 10 15 19];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
fitobject = fit([x1', x2'], y', 'poly23'); % ploy23表示x1的最高项次数为2，x2的最高项次数为3
disp(fitobject);
输出：
Linear model Poly23:
fitobject(x,y) = p00 + p10*x + p01*y + p20*x^2 + p11*x*y + p02*y^2 + p21*x^2*y
+ p12*x*y^2 + p03*y^3
Coefficients:
p00 = -286.4
p10 = 121.3
p01 = 62.76
p20 = -12.85
p11 = -21.57
p02 = -0.4537
p21 = 1.523
p12 = 0.7509
p03 = -0.2724
表达式为： y = − 286.4 + 121.3 ∗ x 1 + 62.76 ∗ x 2 + − 12.85 ∗ x 2 + − 21.57 ∗ x 1 ∗ x 2 + − 0.4537 ∗ x 2 2 + 1.523 ∗ x 1 ∗ x 2 + 0.7509 ∗ x 1 ∗ x 2 2 + − 0.2724 ∗ x 2 3 y=-286.4 + 121.3*x_1 + 62.76*x_2 + -12.85*x^2 + -21.57*x_1*x_2 + -0.4537*x_2^2 + 1.523*x_1*x_2 + 0.7509*x_1*x_2^2 + -0.2724*x_2^3 y=−286.4+121.3∗x1+62.76∗x2+−12.85∗x2+−21.57∗x1∗x2+−0.4537∗x2以上是关于数学建模竞赛中的两个技巧的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
数学建模MATLAB应用实战系列（八十二）-数学建模非线性多元回归（附MATLAB代码）