SS-CA-APPLE：什么是复变函数中的孤立奇点？
Posted 卓晴
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了SS-CA-APPLE：什么是复变函数中的孤立奇点？相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
§01 数学原理
1.1 孤立奇点
1.1.1 孤立奇点定义
如果函数 f ( z ) f\\left( z \\right) f(z) 在 z 0 z_0 z0 的某一个去心邻域 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0 < \\left| z - z_0 \\right| < \\delta 0<∣z−z0∣<δ 内处处解析，那末称 z 0 z_0 z0 是 f ( z ) f\\left( z \\right) f(z) 的孤立奇点。
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孤立奇点举例： 1 / z , e 1 / z 1/z,\\,\\,e^1/z 1/z,e1/z
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非孤立奇点举例： sin − 1 ( 1 / z ) \\sin ^ - 1 \\left( 1/z \\right) sin−1(1/z)
1.1.2 孤立奇点分类
（1）可去奇点
如果在洛朗级数中不包含 z − z 0 z - z_0 z−z0 的负幂次项，那么称孤立奇点 z 0 z_0 z0 为 f ( z ) f\\left( z \\right) f(z) 的可去奇点；
- 可去奇点举例： sin z z = 1 z ( z − 1 3 ! z 3 + 1 5 ! z 5 − ⋯ ) = 1 − 1 3 ! z 2 + 1 5 ! z 4 − ⋯ \\sin z \\over z = 1 \\over z\\left( z - 1 \\over 3!z^3 + 1 \\over 5!z^5 - \\cdots \\right) = 1 - 1 \\over 3!z^2 + 1 \\over 5!z^4 - \\cdots zsinz=z1(z−3!1z3+5!1z5−⋯)=1−3!1z2+5!1z4−⋯
（2）极点
如果在洛朗级数中只有有限多个 z − z 0 z - z_0 z−z0 的负幂次项，其中关于 ( z − z 0 ) − 1 \\left( z - z_0 \\right)^ - 1 (z−z0)−1 最高幂为 ( z − z 0 ) − m \\left( z - z_0 \\right)^ - m (z−z0)−m ，那么孤立奇点 z 0 z_0 z0 称为 f ( z ) f\\left( z \\right) f(z) 的 m m m 级极点。此时， f ( z ) f\\left( z \\right) f(z) 可以写成
f ( z ) = 1 ( z − z 0 ) m g ( z ) f\\left( z \\right) = 1 \\over \\left( z - z_0 \\right)^m g\\left( z \\right) f(z)=(z−z0)m1g(z)
如果 z 0 z_0 z0 为 f ( z ) f\\left( z \\right) f(z) 的极点，那么 lim z → z 0 f ( z ) = ∞ , lim z → z 0 ∣ f ( z ) ∣ = + ∞ \\mathop \\lim \\limits_z \\to z_0 f\\left( z \\right) = \\infty ,\\,\\,\\mathop \\lim \\limits_z \\to z_0 \\left| f\\left( z \\right) \\right| = + \\infty z→z0limf(z)=∞,z→z0lim∣f(z)∣SS-CA-APPLE：什么是复变函数？