硬币概率和统计问题

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了硬币概率和统计问题相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

抛一枚硬币,8次都是正面的可能性有多大?实际上会出现这个情况吗?
连续5次都是正面,第6次背面的可能性是多少?

参考技术A 8次都是正面的可能性 为(1/2)的8次方=1/256;会出现这个情况

第6次背面的可能性是还是1/2追问

第6次正面的可能性是1/64 背面是1/2,这样不矛盾吗?

参考技术B 1、8次都是正面的概率是P=(1/2)^8=0.0039
2、连续5次都是正面,第6次背面的概率是P=(1/2)^5*(1/2)=0.0156追问

0.0156不是背面的概率吧?

追答

正面和背面的概率相同,一半对一半。

追问

第6次正面的可能性是1/64 背面是1/2,这样不矛盾吗?

追答

连续5次都为正面的概率是1/32,第6次是正面和背面的概率相等,一半对一半。也就是说:第6次是正面的概率是1/2,背面也是1/2。如果连同前面的概率,那么都是1/32*1/2=1/64。

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参考技术C 8次都是正面的可能性1/(2^8)
后面一个是贝努力概型也就是6次独立重复试验::2*(1/2)^6

概率论与数理统计python实验

实验一抛硬币试验的模拟

利用python产生一系列0和1的随机数,模拟抛硬币试验。验证抛一枚质地均匀的硬币,正面向上的频率的稳定值为0.5。
实验步骤
(1)生成0和1的随机数序列,将其放入列表count中;也可用函数表示。
(2)统计0和1出现的次数,将其放入a中。a[0],a[1]分别表示0和1出现的次数。
(3)画图展示每次实验正面向上出现的频率

import matplotlib.pyplot as plt
import random
def doss():
    return random.randint(0,1)#返回随机数 1为下,0为上
indices = []  #抛了多少次
freq = []  #储存朝上的频率
for toss_num in range(10,10001,10):
    heads = 0  #向上的次数
    for i in range(toss_num):
        if doss() == 0:
            heads+=1
    freq.append(heads/toss_num)
    indices.append(toss_num)
plt.plot(indices,freq)
plt.show()

实验二 派的估计及其可视化

假设有一个中心在原点的边长为2的正方形,并画出其的内切圆,即圆的半径为1,圆心在原点。向正方形中随机的投点,从而计算圆周率。
使用随机投点法计算圆周率时,只需要统计落在圆内的点和正方形内的点的个数,两者的商为投点落在圆内的频率。再由几何概型,计算投点落在圆内的概率。由将该试验大量重复的进行,根据贝努利大数定律,得到的频率值近似等于概率。根据几何概型有所以,从而计算出圆周率的近似值。

  • 实验步骤:
  • 1)生成两个系列的[-1,1]的随机数。
  • 2)如果点在圆内,把点标为蓝色;否则标绿色。
  • 3)统计蓝色点的个数,计算频率,从而算出圆周率的近似值。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 画单位圆
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 200)
x = np.cos(theta)
y = np.sin(theta)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(4, 4))
ax.plot(x, y, color="darkred")
plt.xticks([])  # 去掉坐标轴的刻度等
plt.yticks([])  # 去掉坐标轴的刻度等

N = 1000
count = 0
for i in range(1, N + 1):
    x = np.random.uniform(-1, 1)  # 产生服从[-1,1]上的均匀分布的N个随机数
    y = np.random.uniform(-1, 1)  # 产生服从[-1,1]上的均匀分布的N个随机数
    if x ** 2 + y ** 2 < 1:
        count += 1
        plt.plot(x, y, 'bo')  # 如果点在圆内,画蓝色
    else:
        plt.plot(x, y, 'go')  # 不在圆内,画绿色

p = count / N
plt.show()
pai = 4 * p
print(pai)

实验三 二项分布的应用

有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?

  • 1)先使用二项分布的分布函数计算X>1的概率。
  • 2)再使用公式计算X>1的概率
  • 对比两个概率值。
  • 3)使用泊松分布的分布函数计算X>1的概率。
  • 4)使用公式计算X>1的概率。
  • 5)对比使用两个分布计算出来概率值。
import numpy as np
from scipy.stats import binom           #导入binom
from matplotlib import pyplot as plt
# numpy.random.binomial(n,p,size=None)

# 3个参数:n表示伯努利试验次数,p表示伯努利试验得到正例的概率,size表示采样次数;返回结果为出现正例的次数k。

#cdf(k, n, p) k:分布函数自变量,n,p:分布参数  累积概率函数(分布函数)F ( k ) 
#sf(k, n, p) k:分布函数自变量,n,p:分布参数  残存函数 1-F(k)

prob=binom.sf(k=1, n=1000, p=0.0001)    #计算P(X<=1)
print(prob)
from scipy.stats import poisson #导入poisson
prob1=poisson.sf(k=1, mu=1)   #计算参数为1时概率P(X>1)
print(prob1)

实验四 正态分布的计算

设某品牌瓶装矿泉水的标准容量是500毫升,设每瓶容量X(以毫升)是随机变量,X~N(500,25),求:

  • (1) 随机抽查一瓶,其容量大于510毫升的概率;
  • (2) 随机抽查一瓶,其容量与标准容量之差的绝对值在8毫升之内的概率;
  • (3) 求常数C,使每瓶的容量小于C的概率为0.05。
  • 实验步骤:
  • (1)用norm.cdf()计算正态分布的分布函数值。normcdf(x,mu,sigma)
    其中norm.cdf(x,mu,sigma)分别表示要求分布函数的x的值,mu为期望,sigma为标准差。
  • (2)使用norm.cdf(510,500,5)计算。
  • (3),使用norm.cdf(508,500,5)- norm.cdf(5492,500,5)计算。
  • (4)norm.ppf(alpha,mu,sigma)计算α分位数。
from scipy.stats import norm
prob1=norm.cdf(510,500,5)
print(prob1)
prob2=norm.cdf(508,500,5)- norm.cdf(492,500,5)
print(prob2)
alpha=norm.ppf(0.05,500,5)
print(alpha)

实验五 二维连续型分布的相关系数

设随机变量联合密度函数为[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ZvXAyQNs-1639205559720)(attachment:image.gif)],
求X、Y的期望、相关系数。
实验步骤:

  • (1)设5个函数y1,y2,y3,y4,y5,分别表示!
  • (2)令y1中的两个变量分别从0到2积分,使用from scipy.integrate import dblquad导入二重积分的包,而计算二重积分的格式为dblquad(y1,0,2,lambda g:0,lambda h:2),其中前面的0,2表示x的积分限,lambda g:0,lambda h:2表示y的积分限。而且dblquad返回两个值,一个是积分值,另一个是误差,可设两个变量接收结果,后面需要使用时仅用积分值即可。最终得到E(X)。
  • (3)令y2中的两个变量分别从0到2积分,得到E(Y)。令y3中的两个变量分别从0到2积分,得到E(X2)。令y4中的两个变量分别从0到2积分,得到E(Y2)。令y5中的两个变量分别从0到2积分,得到E(XY)。
  • (4)使用方差的计算公式,计算D(X),D(Y)。使用协方差的计算公式,计算协方差。再使用,求出相关系数。
from scipy.integrate import dblquad
import math
Ex, err1 = dblquad(lambda y,x:1/8*x*(x+y),0,2,lambda g:0,lambda h:2)
print(Ex)
Ey, err2 = dblquad(lambda y,x:1/8*y*(x+y),0,2,lambda g:0,lambda h:2)
print(Ey)
Ex2, err3 = dblquad(lambda y,x:1/8*x*x*(x+y),0,2,lambda g:0,lambda h:2)
print(Ex2)
Ey2, err4 = dblquad(lambda y,x:1/8*y*y*(x+y),0,2,lambda g:0,lambda h:2)
print(Ey2)
Exy, err3 = dblquad(lambda y,x:1/8*x*y*(x+y),0,2,lambda g:0,lambda h:2)
print(Exy)
Dx = (Ex2-Ex)**2
print(Dx)
Dy = (Ey2-Ey)**2
print(Dy)
cov = Exy-Ex*Ey
print(cov)
p = cov/math.sqrt(Dx*Dy)
print(p)

本文用到的文章
统计函数库scipy
二重积分求法1
二重积分求法2
常用python模拟分布及其可视化1
常用python模拟分布及其可视化2
🌟离散型随机变量(二项分布和泊松分布及其应用)
蒙特卡洛方法计算圆周率并将撒点分布和π估计值可视化

以上是关于硬币概率和统计问题的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

统计学习方法c++实现之八 EM算法与高斯混合模型

基于R的概率统计——几种常见的概率分布

R掷硬币500次,出现真面朝上的概率

概率中的实验

概率论初步

统计与概率——马同学高等数学