自然数幂和

Posted 2022-04-16 ITAK

首先我来介绍一下什么是自然数幂和：

$1+2+3+...+i+...+n=？$

$1^2 +2^2+3^2+...+i^2+...+n^2=？$

$1^k +2^k+3^k+...+i^k+...+n^k=？$

类似上述式子的就是自然数幂和了，那么具体怎么求呢，这就是今天的重点了：

$1+2+3+...+i+...+n=？$ 这个式子大家肯定都会求，这就是一个等差数列求和，然后套公式：

$$S=\\frac(n*n+1)2$$
那么 $1^k +2^k+3^k+...+i^k+...+n^k$这样的式子怎么求呢。

首先求 $(n+1)^k+1-n^k+1------------------------(1)$

根据牛顿二项式展开定理：

$(n+1)^k+1=C(k+1,0)*n^k+1+C(k+1,1)*n^k+...+C(k+1,k+1)*n^0$

所以：

$(1)式=C(k+1,1)*n^k+...+C(k+1,k+1)*n^0$

$(n+1)^k+1-n^k+1=C(k+1,1)*n^k+...+1--------------(2)$

那么我们现在消去了最高次幂的项 $x^k+1$ 那么我们现在对 $(2)式从1-n求和$ 得到：

$(n+1)^k+1-n^k+1=C(k+1,1)*n^k+...+1$

nk+1−(n−以上是关于自然数幂和的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

求自然数幂和

各类求自然数幂和方法

Stirling数反演与自然数幂和

康复计划#3 简单常用的几种计算自然数幂和的方法

自然数幂和[第二类斯特林数求法]

51nod1228 序列求和(自然数幂和)