伯努利数应用

Posted 2022-04-16 ITAK

上一次讲了一下什么是自然数幂和以及求法，但是个算法的时间复杂度是$O(n^2)$ 的，所以有的时候

不能解决一些题目，那么我就借助一下例题说一下伯努利数。

51NOD 1228 序列求和

T(n) = n^k，S(n) = T(1) + T(2) + …… T(n)。给出n和k，求S(n)。

例如k = 2，n = 5，S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55。

由于结果很大，输出S(n) Mod 1000000007的结果即可。

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 5000)

第2 - T + 1行：每行2个数，N, K中间用空格分割。(1 <= N <= 10^18, 1 <= K <= 2000)

Output

共T行，对应S(n) Mod 1000000007的结果。

Input示例

3
5 3
4 2
4 1

Output示例

225
30
10

解题思路分析：

这个题目因为 $T$ 非常大，所以不能直接用上一个递归的公式了，那么就引入了一个新的名词——伯努利数。

伯努利数是18世纪瑞士数学家雅各布·伯努利引入的一个数。设伯努利数为 $B_n$ ，它的定义为： $\\fracte^t-1 = \\sum_n=0^\\infty\\fracB_nn!*t^n$这里$|t|<2$ 。由计算知：$B_0=1, B_1=-\\frac12$ —— 摘自百度百科。

一般地，当 $n\\ge2$ 时，我们可以通过 $\\sum_i=0^nC(n+1,i)*B_k=0$ 通过这个公式我们就得到了 $B_n$ 的公式：

$B_n = -\\frac1C(n+1,n)*(C(n+1,0)*B_0+C(n+1,1)*B_1+...+C(n+1,n-1)*B_n-1)$

$=-\\frac1n+1*(C(n+1,0)*B_0+C(n+1,1)*B_1+...+C(n+1,n-1)*B_n-1)$

那么 我现在给出 求 $1^k+2^k+...+n^k$ 的关于伯努利的公式：

$$\\sum_i=1^ki^k =\\frac1k+1*C(k+1,i)*B_k+1-i*(n+1)^i---(1)$$

这个公式的复杂度是 $O(k)$ ，可以解决一些问题了。

其实这个公式中的大多数都是可以通过初始化来得到的，比如说 组合数 $(n+1)^i$ 和 $\\frac1k+1$ 逆元，

都可以初始化一个数组来得到，然后就是比较复杂的 ”伯努利数“ 了，那么刚才介绍 伯努利数

的时候已经把公式给出了：

Bn=−1n+1伯努利数公式

51Nod 1228 -- 伯努利数

伯努利数

伯努利数

[伯努利数] poj 1707 Sum of powers

hdu6607 min25筛+杜教筛+伯努利数求k次方前缀和