Java差分和前缀和（一维）

Posted 2022-04-06 敲代码的xiaolang

差分法

差分法的应用主要是用于处理区间问题。当某一个数组要在很多不确定的区间，加上相同的一个数。我们如果每个都进行加法操作的话，那么复杂度 O(nm) 是平方阶的，非常消耗时间。
如果我们采用差分法，将数组拆分，构造出一个新的拆分数组，通过对数组区间的端点进行加减操作，最后将数组和并就能完成原来的操作。

例题：

教室外有 N 棵树，根据不同的位置和树种，学校要对其上不同的药。

因为树的排列成线性，且非常长，我们可以将它们看作一条直线给他们编号。

树的编号从 0-N-1 且 N<1e6。

对于树的药是成区间分布，比如 3 - 5 号的树靠近下水道，所以他们要用驱蚊虫的药， 20 - 26 号的树，他们排水不好，容易涝所以要给他们用点促进根系的药。

诸如此类，每种不同的药要花不同的钱。

现在已知共有 M 个这样的区间，并且给你每个区间花的钱，请问最后，这些树木花了多少药费。

输入描述:

每组输入的第一行有两个整数 N（1 <= N<= 1000000）和 M（1 <= M <= 100000）。

N 代表马路的共计多少棵树，M代表区间的数目，N 和 M 之间用一个空格隔开。

接下来的 M 行每行包含三个不同的整数，用一个空格隔开，表示一个区域的起始点 L 和终止点 R 的坐标，以及花费。

输入样例

3000 8
150 1130 2
1020 1200 3 
470 2071 1
1123  211 6
12 222 2
13 23 2 
1  213 4
1232  2523 6

输出样例

2662

1. 最大运行时间：1s
2. 最大运行内存：128M

差分模板：

//读入原始数据 n,m,a

输入n,m

for(int i=1;i<=n;i++)
    
    输入a[i]


//差分
for(int i=1;i<=n;i++)
    
    b[i]=a[i]-a[i-1] 

//区间操作
while(m--)

    输入l,r,value
    b[l]+value
    b[r+1]-value


//前缀和还原
for(int i=1;i<n;i++)
    
    b[i]=b[i]+b[i-1] 

解决方案：

import java.util.Scanner;
public class Main 
  static int b[]=new int [100005];
  public static void main(String[] args) 
      Scanner in = new Scanner(System.in);
      int n; //n层
      int m; // m个区间
      n = in.nextInt();
      m = in.nextInt();
      while(m>0)
          m--;
          int l,r,value ;
          l = in.nextInt();
          r = in.nextInt();
          value = in.nextInt();
          b[l+1]+=value;
          b[r+1+1]-=value;
      
      for(int i=1; i<=n; i++)
         b[i]=b[i]+b[i-1];

      int sum=0;

      for(int i=1;i<=n;i++)
          sum+=b[i];
          
      System.out.println(sum);
  

前缀和

前缀和是指某序列的前 n 项和，可以把它理解为数学上的数列的前 n 项和。当对于某一数组区间进行多次询问，[L,r] 的和时，如果正常处理，那么我们每次都要 [l,r]。查询 N 次，那么时间复杂度也是 O(nm) 也是平方阶的。
如果我们采用前缀和，构造出一个前缀和数组，通过对于端点的值的减法操作就能 O(1) 的求出 [l,r] 的和。然后 N 次查询的,就将复杂度降低为 O(n)

首先假设有一个数组：
1 2 3 4 5 7 2
前缀和后：
0 1 3 6 10 15 22 24
一般应用场景：
让你对区间 [l,r] 求和操作N次
如：
从第二个元素到第五个元素的和
对于每个 [l,r] 区间的求和操作转化为区间端点的加减操作
sum[l,r] =[r]-[l-1]
从第二个元素到第五个元素的和：
转化为：[5]-[1]
那么Sum[2,5]=[5]-[1]=14
且 2+3+4+5=14
确实是相等的。

例题：

教室外有 N 棵树，根据不同的位置和树种，学校已经对其进行了多年的维护。因为树的排列成线性，且非常长，我们可以将它们看作一条直线给他们编号。

树的编号从 1-N 且 N<1e6。由于已经维护了多年，每一个树都由学校的园艺人员进行了维护费用的统计。

每棵树的前期维护费用各不相同，但是由于未来需要要打药，所以有些树木的维护费用太高的话，就要重新种植。由于维护费用也称区间分布，所以常常需要统一个区间里的树木的维护开销。

现在园艺人员想知道，某个区间内的树木维护开销是多少。共计 M 个区间需要查询。

输入描述:

每组输入的第一行有两个整数 N（1 <= N<= 1000000）和 M（1 <= M <= 100000）。

N 代表马路的共计多少棵树，M 代表区间的数目，N 和 M 之间用一个空格隔开。接下来的一行，包含 N 个数，每个数之间用空格隔开。

接下来的M行每行包含两个不同的整数，用一个空格隔开，表示一个区域的起始点L和终止点R的坐标。

输入样例:

10 3
7 5 6 4 2 5 0 8 5 3
1 5
2 6
3 7

输出描述:

　　输出包括M行，每一行只包含一个整数，所有的花费。

输出样例:
24
22
17

1. 最大运行时间：1s
2. 最大运行内存：128M

前缀和模板：

输 入 N 和 M 

输入 N 个值 并计算前缀和
for( int i=1;i<=N;i++)
    输入a[i]
    并计算sum[i]=sum[i-1]+a[i]

输入 M 个区间，计算结果

while(M)
    M-=1
    输入 L , R
    计算 [r]-[l-1]，并输出

解决方案：

import java.util.Scanner;
public class Main 
    static int a[]=new int [100005];
    static int sum[]=new int [100005];
    public static void main(String[] args) 
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n; //n层
        int m; // m个区间
        n = in.nextInt();
        m = in.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;i++)
            a[i]= in.nextInt();
            sum[i]=a[i]+sum[i-1];
        
        while(m>0)
            m--;
            int l,r;
            l = in.nextInt();
            r = in.nextInt();
            System.out.println((sum[r]-sum[l-1]));