[硫化铂]Minimal DFA

Posted 2022-03-23 StaroForgin

Minimal DFA

题目概述

题解

首先，我们考虑当我们需要识别的字符串集合确定时，我们会如何构造出一个最小DFA。
可以发现，由于我们需要识别一个长度为$n$的字符串，那么我们的$DFA$必定是一个$n$层的分层有向无环图。
不然的话，显然是不能保证我们识别出来的字符串的长度为$n$的。
由于要将这个分层图最小化，那么我们必须将之后转移状态相同的点合并起来，也就是说，对于两个前缀，如果它们的后缀在集合中的状态相同，那么我们就可以将它们合作一个点，显然，这样构造得到的DFA一定是最小的。

那么怎么算最小状态数最大是多少呢？
我们可以记第$i$层的点数为$d_i$，显然可以得到这样两个大小关系的不等式：
$$\begin{array}{c}{d}_{i+1}⩽2d_i\\ d_i⩽(d_{i+1}+1{)}^2-1\end{array}$$
第一个不等式说明的是我们的第$i$层中每个点最多向第$i+1$层延伸$2$个点，那么$d_{i+1}$就不可能超过$2d_i$。
而第二个不等式可以这样想，由于第$i$层会向第$i+1$层中选择不超过两个点，而两个不同的点如果选择的点一样，那么这两个点显然可以在第$i$层合起来。
总共不同的选择方案有$(d_{i+1}+1{)}^2-1$种，这也就是$d_i$的上限。
显然，我们最后一层$d_n$肯定只有一个点，因为它肯定是终止节点呢，不会再往后延伸，不可能有两个点。
那么，我们就可以从正反两个方向求出每个点的上限。
显然，对于这个上限，我们是很容易构造出一种方案达到的。
因此，我们将所有的上限加起来，就是我们第一问的答案。

知道了我们第一问的构造方法，就很容易想出我们的第二三问该怎么求了。
我们可以把整个分层图看成两个部分，$d_i$取到第一个式子上限与$d_i$取到第二个式子上限的部分。
显然，第一个部分到每个点所需要的数只有$1$的，因为它们都只有$0/1$的边，没有$0,1$的边。
而第二个部分，到每个点所需要的数为该路径上$0,1$的边数量的幂。显然，出现了这样的一条边就意味着这一位上既可以为$0$也可以为$1$，当然有两条边。
之后，我们要做的是将两边的点匹配。
一个左边的点可以匹配右边$1/2$个点，有顺序，每个右边的至少被匹配到一次。
显然，如果我们要值最小的匹配，显然会尽量选择较小的对嘛。
较小的肯定就是先将所有点只连一条边的匹配选了，保证每个点都有匹配，再将剩余的没有选的对从小到大选。
较大的也可以用类似的方法，我们将右侧所有点与最大的一个点先与左边连了后，再从大到下选。
但我们发现这还有一个问题，如果我们分界处的$d_x⩽d_y$的情况，也就是我们最开始的连法都不能保证全部匹配的，对于这种情况我们就不得不妥协一下。
但我们可以发现，我们的$d_x=2^x,d_y=2^{2^y}-1$。
那么显然，如果我们的$d_x<d_{x+1}<2d_x$，显然，现在有$2x-1=y$。
也就是说，我们有一个点会多匹配一次，最小时就选最小值多匹配一次，最大时就选最大值多匹配一次。

左边的值，直接暴力翻倍就行了。
求出右侧的最大值我们可以采用$dp$的方式，事实上不同的数的个数各样是非常少的。
毕竟右边本来就是指数级递增，层数就相当少，又有许多重复的，最后得到$dp$状态是比较少的，完全可以$dp$，需要维护一个值的大小与方案数。
最后按值排序后就可以选择了。

注意，由于我们的$n⩽1000$，答案是极大的，需要打高精。
但是实际上也不是特别大，暴力也跑的完，没必要打$FFT$高精乘。
时间复杂度$O\left(|高精||DP|\right)$。算不来…
事实上有不用dp，组合数统计的做法，跑得比较快，$\mathrm{D}\mathrm{D}(\mathrm{X}\mathrm{Y}\mathrm{X})$。反正不卡常，都能过。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 20005
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
const int lim=10000000;
const int jzm=2333;
const int mo=998244353;
template<typename _T>
void read(_T &x)
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while('0'>s||s>'9')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
	while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
	x*=f;

template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int qkpow(int a,int s,int p)int t=1;while(s)if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;return t;
struct BigInt
	int len;vector<LL>arr;BigInt()len=0;arr.clear();
	BigInt(LL x)len=0;while(x)arr.pb(x%lim),len++,x/=lim;
	void clear()len=0;arr.clear();
	LL& operator [] (int x)return arr[x];
	BigInt operator + (const LL &rhs)const
		BigInt res;LL x=rhs;res.len=len;
		res.arr.clear();res.arr.resize(len);
		for(int i=0;i<len;i++)res[i]=arr[i]+x,x=res[i]/lim,res[i]%=lim;
		while(x)res.arr.pb(x%lim),x/=lim,res.len++;
		return res;
	
	BigInt operator + (const BigInt &rhs)const
		BigInt res;LL x=0;res.len=max(len,rhs.len);
		res.arr.clear();res.arr.resize(res.len);int i;
		for(i=0;i<len&&i<rhs.len;i++)
			res[i]=arr[i]+rhs.arr[i]+x,x=res[i]/lim,res[i]%=lim;
		while(i<len)res[i]=arr[i]+x,x=res[i]/lim,res[i]%=lim,i++;
		while(i<rhs.len)res[i]=rhs.arr[i]+x,x=res[i]/lim,res[i]%=lim,i++;
		while(x)res.arr.pb(x%lim),res.len++,x/=lim;
		return res;
	
	BigInt operator - (const BigInt &rhs)const
		BigInt res;res.len=len;LL x=0;
		res.arr.以上是关于[硫化铂]Minimal DFA的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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