树的直径概念及求解

Posted 2023-03-15 KuoGavin

文章目录

• • • 1. 使用两次DFS求得树的直径
    • 2. 使用树形DP求得树的直径
    • 3. 性质
    • 4. 参考文献和习题

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树上任意两节点之间最长的简单路径即为树的「直径」。显然，一棵树可以有多条直径，他们的长度相等。可以用两次 $DFS/BFS$ 或者树形 $DP$ 的方法在 $O(n)$ 时间求出树的直径。

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1. 使用两次DFS求得树的直径

两次$DFS/BFS$ 。第一次任意选一个点进行$DFS/BFS$ 找到离它最远的点，此点就是最长路的一个端点，再以此点进行$DFS/BFS$ ，找到离它最远的点，此点就是最长路的另一个端点，于是就找到了树的直径。

证明:
假设此树的最长路径是从$s$到$t$,我们选择的点为$u$。反证法：假设搜到的点是$v$。

• 1. $v$在这条最长路径上，那么$dis[u,v]>dis[u,v]+dis[v,s]$,显然矛盾。
• 2. $v$不在这条最长路径上，我们在最长路径上选择一个点为$po$，则$dis[u,v]>dis[u,po]+dis[po,t]$，那么有$dis[s,v]=dis[s,po]+dis[po,u]+dis[u,v]>dis[s,po]+dis[po,t]=dis[s,t]$,即$dis[s,v]>dis[s,t]$,矛盾。

也许你想说$u$本身就在最长路径，或则其它的一些情况，但其实都能用类似于上面的反证法来证明的。
综上所述，你两次$DFS/BFS$ 就可以求出最长路径的两个端点和路径长度。

上述证明过程建立在所有路径均不为负的前提下。如果树上存在负权边，则上述证明不成立。故若存在负权边，则无法使用两次 $DFS/BFS$ 的方式求解直径。

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代码实现如下：

const int N = 10000 + 10;

int n, c, d[N]; 
//n是树节点数,c是第一次dfs找到的直径端点
//d[n]是所选根节点到某个下标点的最大距离
vector<int> E[N];
//E[n]是节点之间的连通情况，即edges

//寻找以u为起始点/根节点，fa为前驱节点的，到u的最大距离的点
//即求直径端点c的过程
void dfs(int u, int fa) 
	for (int v : E[u]) 
    	if (v == fa) continue; //不走回头路
	    d[v] = d[u] + 1; //边权值均为1
    	if (d[v] > d[c]) c = v; //如果更新后距离u的距离更大，更新c
	    dfs(v, u);
	 


int main() 
	//初始化图
	scanf("%d", &n);
  	for (int i = 1; i < n; i++) 
    	int u, v;
    	scanf("%d %d", &u, &v);
    	E[u].push_back(v), E[v].push_back(u);
  	
  	dfs(1, 0); //第一次dfs找寻直径端点c
  	d[c] = 0, dfs(c, 0); //第二次dfs找寻另一端点，前驱节点还是定为0
  	printf("%d\\n", d[c]); //输出旧c到新c的距离，即为树的直径
  	return 0;

如果需要求出一条直径上所有的节点，则可以在第二次 $DFS$ 的过程中，记录每个点的前序节点，即可从直径的一端一路向前，遍历直径上所有的节点。

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2. 使用树形DP求得树的直径

我们记录当 $1$ 为树的根时，每个节点作为子树的根向下，所能延伸的最长路径长度 $d_1$ 与次长路径（与最长路径无公共边）长度 $d_2$，那么直径就是对于每一个点，该点 $d_1+d_2$ 能取到的值中的最大值。

树形$DP$可以在存在负权边的情况下求解出树的直径。

const int N = 10000 + 10;

int n, d = 0;
int d1[N], d2[N];
vector<int> E[N];

void dfs(int u, int fa) 
  d1[u] = d2[u] = 0;
  for (int v : E[u]) 
    if (v == fa) continue;
    dfs(v, u);
    int t = d1[v] + 1;
    if (t > d1[u])
      d2[u] = d1[u], d1[u] = t;
    else if (t > d2[u])
      d2[u] = t;
  
  d = max(d, d1[u] + d2[u]);


int main() 
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i < n; i++) 
    int u, v;
    scanf("%d %d", &u, &v);
    E[u].push_back(v), E[v].push_back(u);
  
  dfs(1, 0);
  printf("%d\\n", d);
  return 0;
 

如果需要求出一条直径上所有的节点，则可以在 $DP$ 的过程中，记录下每个节点能向下延伸的最长路径与次长路径（定义同上）所对应的子节点，在求 $d$ 的同时记下对应的节点 $u$，使得 $d=d_1[u]+d_2[u]$，即可分别沿着从 $u$ 开始的最长路径的次长路径对应的子节点一路向某个方向（对于无根树，虽然这里指定了 $1$ 为树的根，但仍需记录每点跳转的方向；对于有根树，一路向上跳即可），遍历直径上所有的节点。

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3. 性质

若树上所有边边权均为正，则树的所有直径中点重合

证明：使用反证法。设两条中点不重合的直径分别为 $\delta (s,t)$ 与 $\delta (s^{\prime },t^{\prime })$，中点分别为 $x$ 与 $x^{\prime }$。显然，$\delta (s,x)=\delta (x,t)=\delta (s^{\prime },x^{\prime })=\delta (x^{\prime },t^{\prime })$。

有 $\delta (s,t^{\prime })=\delta (s,x)+\delta (x,x^{\prime })+\delta (x^{\prime 以上是关于树的直径概念及求解的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章}$

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