∑GL-透视投影矩阵的推导

Posted 2023-03-14 itzyjr

计算机显示器是二维表面。由OpenGL渲染的3D场景必须作为2D图像投影到计算机屏幕上。投影矩阵用于此投影变换。首先，它将所有顶点数据从眼睛坐标转换为剪裁坐标。然后，通过与剪裁坐标的w分量相除，这些剪裁坐标也被转换为归一化设备坐标(NDC)。

剪裁坐标：眼睛坐标现在与投影矩阵相乘，成为剪裁坐标。该投影矩阵定义了视锥体——顶点数据投影到屏幕上的方式（透视或正交）。之所以称为剪裁坐标，是因为变换后的顶点(x,y,z)是通过与±w_clip进行比较来剪裁的。

视锥体剔除(裁剪)操作是在剪裁坐标中执行的，正好在除以w_clip之前。通过与w_clip的比较，测试了剪裁坐标x_clip、y_clip和z_clip。因为除以w_clip后成为归一化的NDC坐标，所以要满足-1<=x_clip/w_clip<=1，所以x_clip∈[-w_clip,w_clip]；同理y_clip∈[-w_clip,w_clip]，z_clip∈[-w_clip,w_clip]。如果任何剪裁坐标小于-w_clip或大于w_clip，则顶点将被丢弃(剪裁掉)。

因此，我们必须记住，裁剪（视锥体剔除）和NDC变换都集成到投影矩阵中。以下介绍如何从6个参数构建投影矩阵：left、right、bottom、top、near和far边界值。

然后，OpenGL将重建发生剪裁的多边形的边(如下图中的两条红线)。
下图中的灰色区域即是保留而未被丢弃的点，满足：x_c,y_c,z_c∈(-w_c,w_c)

下图展示了透视视锥体和归一化设备坐标(NDC)：

在透视投影中，视锥体的锥台（眼睛坐标）中的3D点被映射到立方体(NDC)；x坐标从[l,r]到[-1,1]，y坐标从[b,t]到[-1,1]，z坐标从[-n,-f]到[-1,1]。

void glFrustum(
// 指定左右垂直剪裁平面的坐标。
GLdouble left, GLdouble right,
// 指定底部和顶部水平剪裁平面的坐标。
GLdouble bottom, GLdouble top,
// 指定到近深度剪裁平面和远深度剪裁平面的距离。两个距离都必须为正。
GLdouble nearVal, GLdouble farVal
);

请注意，眼睛坐标是在右手坐标系中定义的，但NDC使用左手坐标系。也就是说，原点处的相机在眼睛空间中沿-Z轴观看，但在NDC中沿+Z轴观看。由于glFrustum()只接受near和far的正值，因此我们需要在构造投影矩阵时对它们求反。

在OpenGL中，眼睛空间中的一个3D点被投影到近平面(投影平面)上。下图显示了眼睛空间中的一个点(x_e,y_e,z_e)如何投影到近平面上的(x_p,y_p,z_p)。

从视锥体的[俯视图]，即眼睛空间的x坐标，x_e被映射到x_p，x_p是通过使用相似三角形的比率来计算的：

从视锥体的侧面来看，y_p也以类似的方式计算：

注意x_p和y_p都依赖于z_e；它们与-z_e成反比。换句话说，它们都被-z_e除。这是构造投影矩阵的第一条线索。通过乘以投影矩阵变换眼睛坐标后，剪裁坐标仍然是齐次坐标。它最终成为标准化设备坐标(NDC)，除以剪裁坐标的w分量。（更多细节，见OpenGL_Transformation)

因此，我们可以将剪裁坐标的w分量设置为-z_e。投影矩阵的第4行变成(0,0,-1,0)。

接下来，我们用线性关系将x_p和y_p映射到NDC的x_n和y_n；[l,r]⇒ [-1,1]和[b,t]⇒ [-1,1]。

然后，我们将x_p和y_p代入上述方程。

注意，对于透视除法(x_c/w_c，y_c/w_c），我们使每个方程的两项都可以被-z_e整除。我们在前面将w_c设置为-z_e，括号内的术语变成了剪裁坐标的x_c和y_c。

从这些方程中，我们可以找到投影矩阵的第1行和第2行。

现在，我们只需要解第3行投影矩阵。发现z_n与其他的有点不同，因为眼睛空间中的z_e总是投射到近平面上的-n。但是我们需要唯一的z值来进行裁剪和深度测试。此外，我们应该能够取消投影（逆变换）。因为我们知道z不依赖于x或y值，所以我们借用w分量来寻找z_n和z_e之间的关系。因此，我们可以这样指定投影矩阵的第3行。

在眼睛空间中，w_e等于1。因此，方程变为：

为了求系数A和B，我们使用(z_e,z_n)关系：(-n,-1)和(-f,1)，并将它们放入上述方程中，解出A、B。

此时，z_e与z_n的关系变为：

最后，我们找到了投影矩阵的所有条目。完整的投影矩阵是：

该投影矩阵适用于一般视锥体。如果视体是对称的，即r=-l, t=-b，则可以简化为：

在我们继续之前，请再次看看z_e和z_n之间的关系，等式（3）。你注意到这是一个有理函数，z_e和z_n之间是非线性关系（如下图）。这意味着在近平面的精度非常高，但在远平面的精度非常低。如果射程[-n,-f]越来越大，则会导致深度精度问题（z-fighting）；远平面附近z_e的微小变化不影响z_n值。n和f之间的距离应尽可能短，以最小化深度缓冲精度问题。

使用FOV指定的透视投影：


h = 2 × near × tan(θ/2)
w = h × aspect;
对应上述透视投影矩阵中：
r = w/2；t = h/2
所以：
n/r = (2×n)/w
= (2×n)/(h × aspect)
= (2×n)/(2 × n × tan(θ/2) × aspect)
= cot(θ/2)/aspect
同理求得，n/t = cot(θ/2)
则得到透视投影矩阵为：