关于斐波拉契数列所引伸出来的问题

Posted 2022-03-16 TangguTae

1、斐波拉契数列

之前有讲过关于斐波拉契数列相关的知识，参考这篇文章

求解一个数变为斐波拉契数需要多少步（C语言）_TangguTae的博客-CSDN博客

求斐波拉契数列的第n项有三种方法来实现：递归法、迭代法、利用数学公式。

递归法

long long Fibonacci(int n)

	if (n <= 0)
		return 0;
	if (n == 1)
		return 1;
	return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);

迭代法

利用斐波拉契数列递推公式f(n) = f(n-1) + f(n-2)

int Fibonacci(int n) 
        if(n==1 || n==2)
            return 1;
        int f1 = 1, f2 = 1;
        int fn=0;
        for(int i = 2; i<n; i++)
        
            fn = f1+f2;
            f1=f2;
            f2=fn;
        
        return fn;
    

利用数学公式的方法求解

这个比较难想到，有兴趣可以去看看剑指offer这本书上的面试题9

2、跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

跳台阶_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)

看似这题很复杂，要统计所有的情况正着想也太复杂了。但是我们可以换个角度思考，假设现在青蛙已经在第n级台阶上，如果我们每次只能下一级台阶或者两级台阶，下一级台阶则只需要在讨论剩下n-1级台阶该如何下，如果下两级台阶则考虑剩下n-2级台阶该如何下，所以我们可以得到f(n) = f(n-1) + f(n-2)这样的递推式，是不是感觉很眼熟，就是斐波拉契数列。

这种问题也属于动态规划，可以用动态规划的通用方法来解决，不过这题只需要三个变量即可，不需要整个数组。

代码就参考上面的斐波拉契的代码即可。

3、跳台阶的变形

将上题题目更改，青蛙现在的选择更多了，每次可以跳[1,n]当中任意级台阶，总共有多少种跳法？

跳台阶扩展问题_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)

同样的反着想，每次可以下1级到n级，那么递推式f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ...+ f(1) + 1。+1是代表当下一跳跳n级台阶的情况。

利用动态规划

    int jumpFloorII(int number) 
        int dp[21]=0;
        dp[0] = 1;
        for(int i =1; i < number; i++)
        
            for(int j = i;j>0;j--)
                dp[i] += dp[j-1];
            dp[i]+=1;
        
        return dp[number - 1];