张量t-product积基础 | 循环矩阵与向量乘积的离散傅立叶变换 · 循环矩阵的傅里叶对角化
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了张量t-product积基础 | 循环矩阵与向量乘积的离散傅立叶变换 · 循环矩阵的傅里叶对角化相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
循环矩阵与向量乘积的离散傅立叶变换
证明过程非常有意思写下来给大家看一下
证明：
F
A
B
=
(
F
A
(
:
,
1
)
)
⊙
(
F
B
)
FAB=(FA(:,1))\\odot(FB)
FAB=(FA(:,1))⊙(FB)
其中
A
A
A为循环矩阵，F为DFT矩阵，
A
(
:
,
1
)
A(:,1)
A(:,1)是
A
A
A的第一列，
⊙
\\odot
⊙是Hadamard积，就是把位置相同的元素乘在一起，这论文中的符号和很多论文中的不一样就很烦，这里因为
(
F
A
(
:
,
1
)
)
(FA(:,1))
(FA(:,1))和(FB)都是列向量，因此为了容易理解我们将其写为：
F
A
B
=
d
i
a
g
(
F
A
(
:
,
1
)
)
(
F
B
)
FAB=diag(FA(:,1))(FB)
FAB=diag(FA(:,1))(FB)
就两个列向量每个元素一一相乘不相当于把第一个向量的每一个元素都放在一个对角阵的对角线，然后再乘列向量嘛。
符号说明
A是循环矩阵，为了方便后面书写我们将A的列记为 A 1 ， A 2 , … , A n A_1，A_2,\\dots,A_n A1，A2,…,An.
A = ( a 1 a n a n − 1 ⋯ a 2 a 2 a 1 a n ⋯ a 3 a 3 a 2 a 1 ⋯ a 4 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n a n − 1 a n − 2 ⋯ a 1 ) = ( ∣ ∣ ∣ ⋯ ∣ A 1 A 2 A 3 ⋯ A n ∣ ∣ ∣ ⋯ ∣ ) A=\\beginpmatrix a_1&a_n&a_n-1&\\cdots&a_2\\\\ a_2&a_1&a_n&\\cdots&a_3\\\\ a_3&a_2&a_1&\\cdots&a_4\\\\ \\vdots&\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\ a_n&a_n-1&a_n-2&\\cdots&a_1 \\endpmatrix= \\beginpmatrix \\mid&\\mid&\\mid&\\cdots&\\mid\\\\ A_1&A_2&A_3&\\cdots&A_n\\\\ \\mid&\\mid&\\mid&\\cdots&\\mid \\endpmatrix A=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛a1a2a3⋮anana1a2⋮an−1an−1ana1⋮an−2⋯⋯⋯⋱⋯a2a3a4⋮a1⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎛∣A1∣∣A2∣∣A3∣⋯⋯⋯∣An∣⎠⎞
F是DFT矩阵，具有如下形式，为了方便后面将F的行记为
F
1
，
F
2
,
…
,
F
n
F_1，F_2,\\dots,F_n
F1，F2,…,Fn. 以上是关于张量t-product积基础 | 循环矩阵与向量乘积的离散傅立叶变换 · 循环矩阵的傅里叶对角化的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
F
=
(
1
1
1
1
⋯
1
1
ω
ω
2
ω
3
⋯
ω
n
−
1
1
ω
2
ω
4
ω
6
⋯
ω
2
(
n
−
1
)
1
ω
3
ω
6
ω
9
⋯
ω
3
(
n
−
1
)
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
ω
n
−
1
ω
2
(
n
−
1
)
ω
3
(
n
−
1
)
⋯
ω
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
)
=
(
—
F
1
—
—
F
2
—
—
F
3
—
—
F
4
—
⋮
⋮
⋮
—
F
n
—
)
F=\\beginpmatrix 1&1&1&1&\\cdots&1\\\\ 1&\\omega&\\omega^2&\\omega^3&\\cdots&\\omega^n-1\\\\ 1&\\omega^2&\\omega^4&\\omega^6&\\cdots&\\omega^2(n-1)\\\\ 1&\\omega^3&\\omega^6&\\omega^9&\\cdots&\\omega^3(n-1)\\\\ \\vdots&\\vdots&\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\ 1&\\omega^n-1&\\omega^2(n-1)&\\omega^3(n-1)&\\cdots&\\omega^(n-1)(n-1) \\endpmatrix= \\beginpmatrix —&F_1&—\\\\ —&F_2&—\\\\ —&F_3&—\\\\ —&F_4&—\\\\ \\vdots&\\vdots&\\vdots\\\\ —&F_n&— \\endpmatrix
F=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛1111⋮11ωω2ω3⋮ωn−11ω2<