C++进阶第十八篇——AVL树(概念+平衡因子的调节+旋转+代码实现)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了C++进阶第十八篇——AVL树(概念+平衡因子的调节+旋转+代码实现)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
⭐️今天的这一篇博客,我要跟大家介绍一颗树——AVL树,它也是一颗二叉搜索树,它就是在二叉搜索树中加了一个平衡因子的概念在里面,下面我就来和大家聊一聊这棵树是个怎么样的树。
⭐️博客代码已上传至gitee:https://gitee.com/byte-binxin/cpp-class-code
目录
🌏概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率,但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树,查找元素相当于在顺序表中搜索元素,效率低下。因此,两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新结点后,如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整),即可降低树的高度,从而减少平均搜索长度。
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差的绝对值(也叫平衡因子)不超过1
- 我规定:平衡因子(balance factor)= 右子树高度 - 左子树高度(后面这样实现)
🌏AVL树的实现
🌲AVL树的节点定义
这里节点是一个三叉链,里面存放了元素的数据和该节点此时的平衡因子。不管今后我们进行什么操作,都要维持这里的平衡因子的绝对值不超过1。
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
// 三叉链
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
int _bf; // balance factor 平衡因子 右子树高度-左子树高度
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
;
🌲AVL树的插入
🍯方法概述
第一步: 我们先按照二叉搜索树树插入节点的方式,插入节点(这一步很简单,上一篇博客介绍过)
第二步: 更新平衡因子,更新平衡因子的过程是一个难点,下面我给大家分析一下整个过程
🍯平衡因子的调节
🍍正常情况
实际上,我们应该能够发现,插入一个节点后,它之后影响它祖先的平衡因子(可能是所有祖先,也可能是一部分祖先),下面就是一个分析过程:
第一步: 判断父亲节点是否存在,不存在直接结束,如果存在,且插入节点是它的左孩子,那么父亲节点的平衡因子就减1,如果是父亲的右,父亲的平衡因子就加1。然后对父亲节点的平衡因子进行检索。
第二步: 继续对父亲节点的平衡因子进行检索,平衡因子会有一下三种情况
第一种情况: 此时父亲的平衡因子为0,则说明插入前父亲的平衡因子为1或-1,缺少左节点或右节点插入后,插入的节点已经补齐了左节点或右节点,整体高度不变,对上层无影响,不需要继续调节。下面是一个演示图:
第二种情况 此时父亲节点的平衡因子为-1或1,则说明插入前父亲的平衡因子为0,插入后增加了一个左节点或右节点,整体高度增加1,对上层有影响,继续迭代更新祖先的平衡因子。下面是一个演示图:
第三种情况: 此时父亲节点的平衡因子为-2或2,则说明插入前父亲的平衡因子为-1或1,多了一个左节点或一个右节点,插入后增加了一个左节点或右节点,此时多了两个左节点和右节点,这棵子树一边已经被拉高了,此时这棵子树不平衡了,需要旋转处理。下面是一个演示图:
🍍旋转处理(出现了不平衡子树)
旋转有四种情况:
- 左单旋(新插入的节点在右子树的右侧)
具体步骤: 让subR的左孩子成为parent的右孩子,然后让parent成为subR的左孩子,最后把两个节点的平衡因子修改为0.
先画一个具像图给大家演示如何进行这个操作(下面是一部分失衡的子树):
再画一个抽像图来演示:
代码实现如下:
// 左单旋 bf为2 右边高,把上面的压下来放到左边
void RotateL(Node* parent)
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
// 1.先让把subR的左边(可能为空也可能不为空)作为parent的右边
parent->_right = subRL;
// 2.如果subRL不为空,就让subRL的父指针指向parent
if (subRL) subRL->_parent = parent;
// 3.先记录parent的父节点的位置,然后把parent作为subR的左边
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
// 4.parent的父指针指向subR
parent->_parent = subR;
// 5.如果ppNode为空==>说明subR现在是根节点,就让subR的父指针指向nullptr
// 不是根节点就把subR的父指针指向parent的父节点,parent的父节点(左或右)指向subR
if (ppNode == nullptr)
// 更新根节点
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
else
// 判断parent是ppNode的左还是右
if (ppNode->_left == parent)
ppNode->_left = subR;
else
ppNode->_right = subR;
subR->_parent = ppNode;
// 6.把parent和subR的平衡因子更新为0
subR->_bf = parent->_bf = 0;
- 右单旋 (新节点插入到较高左子树的左侧)
具体步骤: 让subL的右孩子成为parent的左孩子,然后让parent成为subL的右孩子,最后把两个节点的平衡因子修改为0.
先画一个具像图给大家演示如何进行这个操作(下面是一部分失衡的子树):
在给大家演示一下抽象图:
代码实现如下:
// 右单旋 bf为-2 左边高,把上面的压下来放到右边
void RotateR(Node* parent)
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
// 1.先让把subL的右边(可能为空也可能不为空)作为parent的左边
parent->_left = subLR;
// 2.如果subLR不为空,就让subLR的父指针指向parent
if (subLR) subLR->_parent = parent;
// 3.先记录parent的父节点的位置,然后把parent作为subL的右边
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
// 4.parent的父指针指向subL
parent->_parent = subL;
// 5.如果ppNode为空==>说明subR现在是根节点,就让subL的父指针指向nullptr
// 不是根节点就把subL的父指针指向parent的父节点,parent的父节点(左或右)指向subL
if (ppNode == nullptr)
// 更新根节点
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
else
// 判断parent是ppNode的左还是右
if (ppNode->_left == parent)
ppNode->_left = subL;
else
ppNode->_right = subL;
subL->_parent = ppNode;
// 6.把parent和subL的平衡因子更新为0
subL->_bf = parent->_bf = 0;
- 右左双旋(新节点插入在较高右子树左侧,这里和第一种情况的区别就是前者是直线,后者是折线)
具体步骤 先对subR进行一个右单旋,然后对parent进行左单旋,修改平衡因子,有三种改法。三个节点从左至右的三个节点一次是:parent、subRL和subR。
如果subRL的平衡因子为0,就将它们依次改为0,0, 0;
如果subRL的平衡因子为1,就将它们依次改为-1,0, 0;
如果subRL的平衡因子为-1,就将它们依次改为0,0, 1。
先看具像图:
再看一个抽象图(两种情况):
subRL的bf为1
subRL的bf为-1
代码实现如下:
// 右左旋转==>parent->_bf==2&&cur->_bf==-1
void RotateRL(Node* parent)
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;// 保留subRL的平衡因子的值,方便知道新插入的节点是在subRL的左子树还是右子树
// 旋转 先对subR进行右旋转,再对parent进行左旋转
RotateR(subR);
RotateL(parent);
// 从左到右 parent subRL subR
if (bf == -1)// subRL的左子树 bf: 0 0 1
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
else if (bf == 1)// subRL的右子树 bf: -1 0 0
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
else if (bf == 0)
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
- 左右双旋(新节点插入在较高右子树左侧,这里和第一种情况的区别就是前者是直线,后者是折线)
具体步骤先对subL进行一个左单旋,然后对parent进行右单旋,修改平衡因子,有三种改法。三个节点从左至右的三个节点一次是:subL、subLR和parent。(和上面的类似,这样有助于我们记住平衡因子的调整,同时我们也可以画简图理解记忆)
如果subLR的平衡因子为0,就将它们依次改为0,0, 0;
如果subLR的平衡因子为1,就将它们依次改为-1,0, 0;
如果subLR的平衡因子为-1,就将它们依次改为0,0, 1。
先看具像图:
再看一个抽象图(也有两种情况):
subLR的bf为-1
subLR的bf为1
代码实现如下:
// 左右旋转==>parent->_bf==-2&&cur->_bf==1
void RotateLR(Node* parent)
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;// 保留subLR的平衡因子的值,方便知道新插入的节点是在subLR的左子树还是右子树
// 旋转 先对subL进行左旋转,再对parent进行右旋转
RotateL(subL);
RotateR(parent);
// 从左到右 subL subLR parent
if (bf == -1)// subLR的左子树 bf: 0 0 1
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
else if (bf == 1)// subLR的右子树 bf: -1 0 0
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
else if (bf == 0)
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
🍯插入代码实现
插入的步骤也就是如上面说的一样,下面的代码我们通过迭代实现。
代码实现如下:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
// 先按照二叉搜索数一样插入元素
// 无节点是插入
if (_root == nullptr)
_root = new Node(kv);
return true;
// 有节点时插入
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
parent = cur;
// 小于往左走
if (kv.first < cur->_kv.first)
cur = cur->_left;
// 大于往右走
else if (kv.first > cur->_kv.first)
cur = cur->_right;
else
// 找到了,就返回false
return false;
cur = new Node(kv);
// 判断cur应该插在parent的左还是右
// 小于在左,大于在右
if (cur->_kv.first < parent->_kv.first)
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
else
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
// 更新parent的平衡因子
// 节点的插入只会影响cur的祖先的平衡因子(不是所有的,是一部分,分情况)
while (parent)
// 更新parent的平衡因子
// cur在parent的左,parent->_bf--
// cur在parent的右,parent->_bf++
if (cur == parent->_left)
parent->_bf--;
else
parent->_bf++;
// bf 可能为 -2、-1、0、1、2
// 如果平衡因子为0,说明更新之前,parent的bf为-1或1,现在补齐了左节点或右节点,bf==0,对上层无影响
// 如果平衡因子为-1或1,说明更新之前,parent的bf为0,现在增加了一个左节点或有节点,bf==-1 || bf==1,对上层有影响
// 如果平衡因子为-2或2,说明更新之前,parent的bf为-1或1,现在往左(右)节点补了左(右)节点,也就是一边
// 拉高了,树不平衡了,需要用左旋转或右旋转来进行调整
if (parent->_bf == 0)
// 对上层无影响,退出
break;
else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
// 对上层有影响,迭代更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
else
// 平衡树出现了问题,需要调整
// 1.右边高,左旋转调整
if (parent->_bf == 2)
// 如果是一条直线==>左旋转即可
// 如果是一条折线==>右左旋转
if (cur->_bf == 1)
RotateL(parent);
else if (cur->_bf == -1)
RotateRL(parent);
// 2.左边高,右旋转调整
else if (parent->_bf == -2)
// 如果是一条直线==>右旋转即可
// 如果是一条折线==>左右旋转
if (cur->_bf == -1)
RotateR(parent);
else if (cur->_bf == 1)
RotateLR(parent);
// 调整后是平衡树,bf为0,不需要调整了
break;
return bool;
🌲AVL树的查找
查找的代码和二叉搜索树是一样的,这里就不过多介绍。
代码实现如下:
bool Find(const K& key)
if (_root == nullptr)
return false;
Node* cur = _root;
while (cur)
// 小于往左走
if (key < cur->_kv.first)
cur = cur->_left;
// 大于往右走
else if (key > cur->_kv.first)
cur = cur->_right;
else
// 找到了
return true;
return false;
🌲AVL树的删除
🍯方法概述
第一步: 我们先按照二叉搜索树树删除节点的方式,删除节点(这一步很简单,上一篇博客介绍过)
第二步: 然后根据对应删除情况更新平衡因子,这里更新平衡因子的方法与插入的更新方法是相反的,下面我给大家分析一下整个过程
🍯平衡因子的调节
🍍正常情况
删除节点后,如果删除的节点为根节点,就结束。否则根据删除节点为父节点的左右调整父节点的平衡因子。如果删除节点是父节点的左孩子,那么父亲节点的平衡因子加1,否则减1。然后对父亲节点进行检索。
有以下几种情况:
第一种情况: 此时父亲的平衡因子为0,则说明删除前父亲的平衡因子为1或-1,多出一个左节点或右节点,删除节点后,左右高度相等,整体高度减1,对上层有影响,需要继续调节。下面是一个演示图:(如果此时3为根节点,那么也可以结束)
第二种情况: 此时父亲的平衡因子为-1或1,则说明删除前父亲的平衡因子为0,左右高度相等,删除节点后,少了一个左节点或右节点,但是整体高度不变,对上层无影响,不需要继续调节。下面是一个演示图:
第三种情况: 此时父亲节点的平衡因子为-2或2,则说明删除前父亲的平衡因子为-1或1,多了一个左节点或一个右节点,删除了一个右节点或左节点,此时多了两个左节点和右节点,这棵子树一边已经被拉高了,此时这棵子树不平衡了,需要旋转处理。下面是一个演示图:
🍍需要旋转处理的几种情况
这里我只分析右边高的情况,左边高和它对称的,操作是相同的。
情况一:
操作方法: 对parent进行左旋转,因为subR的平衡因子为0,需要继续检索,然后继续迭代,把cur迭代sub的位置,parent到cur的父亲的位置
具像图:
抽象图:
情况二:
操作方法: 对parent进行左旋,然后修改平衡因子,把subR的平衡因子改为-1,parent的平衡因子改为1,因为subR的平衡因子为-1,所以无需迭代,直接结束
具像图:
抽象图:
情况三:
操作方法: 对subR进行右旋,然后对parent进行左旋,此时subR的平衡因子为0,需迭代
具像图:
抽象图:
🍯删除代码如下
删除代码如下:
bool Erase(const K& key)
if (_root == nullptr)
return false;
// 有节点时插入
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
// 小于往左走
if (key < cur->_kv.first)
parent = cur;
cur = cur->_left;
// 大于往右走
else if (key > cur->_kv.first)
parent = cur;
cur = cur->_right;
else
// 找到了
// 1.左边为空,把parent指向cur的右
// 2.右边为空,把parent指向cur的左
// 3.左右都不为空,用右子树的最左边的节点(最小节点)的值替换要删除的节点,然后转换为用1的情况删除该节点
if (cur->_left == nullptr)
if (cur == _root)
_root = cur->_right;
delete cur;
break;
else
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_right;
parent->_bf++;
else
parent->_right = cur->_right;
parent->_bf--;
if (parent->_bf != -1 && parent->_bf != 1) AfterEraseUpdateBf(parent);
delete cur;
else if (cur->_right == nullptr)
if (cur == _root)
_root = cur->_left;
delete cur;
break;
else
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_left;
parent->_bf++;
else
parent->_right = cur->_left;
parent->_bf--;
if (parent->_bf != -1 && parent->_bf != 1) AfterEraseUpdateBf(parent);
delete cur;
else
Node* rightMinParent = cur;
Node* rightMin = cur->_right;// 先去右子树
while (rightMin->_left)
rightMinParent = rightMin;
rightMin = rightMin->_left;// 一种往左走
cur->_kv = rightMin->_kv;
// 替代删除
// 删除minNode 第一种情况:左节点为空
if (rightMinParent->_left == rightMin)
rightMinParent->_left = rightMin->_right;
rightMinParent->_bf++;
else
rightMinParent->_right = rightMin->_right;
rightMinParent->_bf--;
if 以上是关于C++进阶第十八篇——AVL树(概念+平衡因子的调节+旋转+代码实现)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章