C++进阶第十八篇——AVL树(概念+平衡因子的调节+旋转+代码实现)

Posted 呆呆兽学编程

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了C++进阶第十八篇——AVL树(概念+平衡因子的调节+旋转+代码实现)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

⭐️今天的这一篇博客,我要跟大家介绍一颗树——AVL树,它也是一颗二叉搜索树,它就是在二叉搜索树中加了一个平衡因子的概念在里面,下面我就来和大家聊一聊这棵树是个怎么样的树。
⭐️博客代码已上传至gitee:https://gitee.com/byte-binxin/cpp-class-code

目录


🌏概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率,但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树,查找元素相当于在顺序表中搜索元素,效率低下。因此,两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新结点后,如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整),即可降低树的高度,从而减少平均搜索长度。

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差的绝对值(也叫平衡因子)不超过1
  • 我规定:平衡因子(balance factor)= 右子树高度 - 左子树高度(后面这样实现)

🌏AVL树的实现

🌲AVL树的节点定义

这里节点是一个三叉链,里面存放了元素的数据和该节点此时的平衡因子。不管今后我们进行什么操作,都要维持这里的平衡因子的绝对值不超过1。

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode

	// 三叉链
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;
	int _bf; // balance factor  平衡因子 右子树高度-左子树高度

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	
;

🌲AVL树的插入

🍯方法概述

第一步: 我们先按照二叉搜索树树插入节点的方式,插入节点(这一步很简单,上一篇博客介绍过)
第二步: 更新平衡因子,更新平衡因子的过程是一个难点,下面我给大家分析一下整个过程

🍯平衡因子的调节

🍍正常情况

实际上,我们应该能够发现,插入一个节点后,它之后影响它祖先的平衡因子(可能是所有祖先,也可能是一部分祖先),下面就是一个分析过程:

第一步: 判断父亲节点是否存在,不存在直接结束,如果存在,且插入节点是它的左孩子,那么父亲节点的平衡因子就减1,如果是父亲的右,父亲的平衡因子就加1。然后对父亲节点的平衡因子进行检索。
第二步: 继续对父亲节点的平衡因子进行检索,平衡因子会有一下三种情况

第一种情况: 此时父亲的平衡因子为0,则说明插入前父亲的平衡因子为1或-1,缺少左节点或右节点插入后,插入的节点已经补齐了左节点或右节点,整体高度不变,对上层无影响,不需要继续调节。下面是一个演示图:

第二种情况 此时父亲节点的平衡因子为-1或1,则说明插入前父亲的平衡因子为0,插入后增加了一个左节点或右节点,整体高度增加1,对上层有影响,继续迭代更新祖先的平衡因子。下面是一个演示图:

第三种情况: 此时父亲节点的平衡因子为-2或2,则说明插入前父亲的平衡因子为-1或1,多了一个左节点或一个右节点,插入后增加了一个左节点或右节点,此时多了两个左节点和右节点,这棵子树一边已经被拉高了,此时这棵子树不平衡了,需要旋转处理。下面是一个演示图:

🍍旋转处理(出现了不平衡子树)

旋转有四种情况:

  1. 左单旋(新插入的节点在右子树的右侧)
    具体步骤: 让subR的左孩子成为parent的右孩子,然后让parent成为subR的左孩子,最后把两个节点的平衡因子修改为0.
    先画一个具像图给大家演示如何进行这个操作(下面是一部分失衡的子树):

    再画一个抽像图来演示:

    代码实现如下:
// 左单旋 bf为2  右边高,把上面的压下来放到左边
void RotateL(Node* parent)
		
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	// 1.先让把subR的左边(可能为空也可能不为空)作为parent的右边
	parent->_right = subRL;
	// 2.如果subRL不为空,就让subRL的父指针指向parent
	if (subRL) subRL->_parent = parent;
	// 3.先记录parent的父节点的位置,然后把parent作为subR的左边 
	Node* ppNode = parent->_parent;
	subR->_left = parent;
	// 4.parent的父指针指向subR
	parent->_parent = subR;

	// 5.如果ppNode为空==>说明subR现在是根节点,就让subR的父指针指向nullptr
	//   不是根节点就把subR的父指针指向parent的父节点,parent的父节点(左或右)指向subR
	if (ppNode == nullptr)
	
		// 更新根节点
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	
	else
	
		// 判断parent是ppNode的左还是右
		if (ppNode->_left == parent)
			ppNode->_left = subR;
		else
			ppNode->_right = subR;

		subR->_parent = ppNode;
	

	// 6.把parent和subR的平衡因子更新为0
	subR->_bf = parent->_bf = 0;

  1. 右单旋 (新节点插入到较高左子树的左侧)
    具体步骤: 让subL的右孩子成为parent的左孩子,然后让parent成为subL的右孩子,最后把两个节点的平衡因子修改为0.
    先画一个具像图给大家演示如何进行这个操作(下面是一部分失衡的子树):

    在给大家演示一下抽象图:

    代码实现如下:
// 右单旋 bf为-2  左边高,把上面的压下来放到右边
void RotateR(Node* parent)

	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	// 1.先让把subL的右边(可能为空也可能不为空)作为parent的左边
	parent->_left = subLR;
	// 2.如果subLR不为空,就让subLR的父指针指向parent
	if (subLR) subLR->_parent = parent;
	// 3.先记录parent的父节点的位置,然后把parent作为subL的右边
	Node* ppNode = parent->_parent;
	subL->_right = parent;
	// 4.parent的父指针指向subL
	parent->_parent = subL;

	// 5.如果ppNode为空==>说明subR现在是根节点,就让subL的父指针指向nullptr
	//   不是根节点就把subL的父指针指向parent的父节点,parent的父节点(左或右)指向subL
	if (ppNode == nullptr)
	
		// 更新根节点
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	
	else
	
		// 判断parent是ppNode的左还是右
		if (ppNode->_left == parent)
			ppNode->_left = subL;
		else
			ppNode->_right = subL;

		subL->_parent = ppNode;
	

	// 6.把parent和subL的平衡因子更新为0
	subL->_bf = parent->_bf = 0;

  1. 右左双旋(新节点插入在较高右子树左侧,这里和第一种情况的区别就是前者是直线,后者是折线)
    具体步骤 先对subR进行一个右单旋,然后对parent进行左单旋,修改平衡因子,有三种改法。三个节点从左至右的三个节点一次是:parent、subRL和subR。
    如果subRL的平衡因子为0,就将它们依次改为0,0, 0;
    如果subRL的平衡因子为1,就将它们依次改为-1,0, 0;
    如果subRL的平衡因子为-1,就将它们依次改为0,0, 1。
    先看具像图:

    再看一个抽象图(两种情况):
    subRL的bf为1

    subRL的bf为-1
    代码实现如下:
// 右左旋转==>parent->_bf==2&&cur->_bf==-1
void RotateRL(Node* parent)

	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;// 保留subRL的平衡因子的值,方便知道新插入的节点是在subRL的左子树还是右子树

	// 旋转 先对subR进行右旋转,再对parent进行左旋转
	RotateR(subR);
	RotateL(parent);

	// 从左到右 parent subRL subR
	if (bf == -1)// subRL的左子树  bf: 0 0 1
	
		parent->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
	
	else if (bf == 1)// subRL的右子树 bf: -1 0 0
	
		parent->_bf = -1;
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	
	else if (bf == 0)
	
		parent->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	

  1. 左右双旋(新节点插入在较高右子树左侧,这里和第一种情况的区别就是前者是直线,后者是折线)
    具体步骤先对subL进行一个左单旋,然后对parent进行右单旋,修改平衡因子,有三种改法。三个节点从左至右的三个节点一次是:subL、subLR和parent。(和上面的类似,这样有助于我们记住平衡因子的调整,同时我们也可以画简图理解记忆)
    如果subLR的平衡因子为0,就将它们依次改为0,0, 0;
    如果subLR的平衡因子为1,就将它们依次改为-1,0, 0;
    如果subLR的平衡因子为-1,就将它们依次改为0,0, 1。
    先看具像图:

    再看一个抽象图(也有两种情况):
    subLR的bf为-1

    subLR的bf为1

    代码实现如下:
// 左右旋转==>parent->_bf==-2&&cur->_bf==1
void RotateLR(Node* parent)

	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;// 保留subLR的平衡因子的值,方便知道新插入的节点是在subLR的左子树还是右子树

	// 旋转 先对subL进行左旋转,再对parent进行右旋转
	RotateL(subL);
	RotateR(parent);

	// 从左到右 subL subLR parent
	if (bf == -1)// subLR的左子树  bf: 0 0 1
	
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
	
	else if (bf == 1)// subLR的右子树 bf: -1 0 0
	
		subL->_bf = -1;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	
	else if (bf == 0)
	
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	

🍯插入代码实现

插入的步骤也就是如上面说的一样,下面的代码我们通过迭代实现。
代码实现如下:

bool Insert(const pair<K, V>& kv)

	// 先按照二叉搜索数一样插入元素

	// 无节点是插入
	if (_root == nullptr)
	
		_root = new Node(kv);
		return true;
	

	// 有节点时插入
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;

	while (cur)
	
		parent = cur;
		// 小于往左走
		if (kv.first < cur->_kv.first)
		
			cur = cur->_left;
		
		// 大于往右走
		else if (kv.first > cur->_kv.first)
		
			cur = cur->_right;
		
		else
		
			// 找到了,就返回false
			return false;
		
	

	cur = new Node(kv);
	// 判断cur应该插在parent的左还是右 
	// 小于在左,大于在右		
	if (cur->_kv.first < parent->_kv.first)
	
		parent->_left = cur;
		cur->_parent = parent;
	
	else
	
		parent->_right = cur;
		cur->_parent = parent;
	

	// 更新parent的平衡因子
	
	// 节点的插入只会影响cur的祖先的平衡因子(不是所有的,是一部分,分情况)
	while (parent)
	
		// 更新parent的平衡因子
		// cur在parent的左,parent->_bf--
		// cur在parent的右,parent->_bf++
		if (cur == parent->_left)
			parent->_bf--;
		else
			parent->_bf++;
		// bf 可能为 -2、-1、0、1、2
		// 如果平衡因子为0,说明更新之前,parent的bf为-1或1,现在补齐了左节点或右节点,bf==0,对上层无影响
		// 如果平衡因子为-1或1,说明更新之前,parent的bf为0,现在增加了一个左节点或有节点,bf==-1 || bf==1,对上层有影响
		// 如果平衡因子为-2或2,说明更新之前,parent的bf为-1或1,现在往左(右)节点补了左(右)节点,也就是一边
		// 拉高了,树不平衡了,需要用左旋转或右旋转来进行调整
		if (parent->_bf == 0)
		
			// 对上层无影响,退出
			break;
		
		else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
		
			// 对上层有影响,迭代更新
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		
		else
		
			// 平衡树出现了问题,需要调整
			// 1.右边高,左旋转调整
			if (parent->_bf == 2)
			
				// 如果是一条直线==>左旋转即可
				// 如果是一条折线==>右左旋转
				if (cur->_bf == 1)
					RotateL(parent);
				else if (cur->_bf == -1)
					RotateRL(parent);

			
			// 2.左边高,右旋转调整
			else if (parent->_bf == -2)
			
				// 如果是一条直线==>右旋转即可
				// 如果是一条折线==>左右旋转
				if (cur->_bf == -1)
					RotateR(parent);
				else if (cur->_bf == 1)
					RotateLR(parent);
			

			// 调整后是平衡树,bf为0,不需要调整了
			break;
		
	

	return bool;

🌲AVL树的查找

查找的代码和二叉搜索树是一样的,这里就不过多介绍。
代码实现如下:

bool Find(const K& key)

	if (_root == nullptr)
		return false;

	Node* cur = _root;
	while (cur)
	
		// 小于往左走
		if (key < cur->_kv.first)
		
			cur = cur->_left;
		
		// 大于往右走
		else if (key > cur->_kv.first)
		
			cur = cur->_right;
		
		else
		
			// 找到了
			return true;
		
	

	return false;

🌲AVL树的删除

🍯方法概述

第一步: 我们先按照二叉搜索树树删除节点的方式,删除节点(这一步很简单,上一篇博客介绍过)
第二步: 然后根据对应删除情况更新平衡因子,这里更新平衡因子的方法与插入的更新方法是相反的,下面我给大家分析一下整个过程

🍯平衡因子的调节

🍍正常情况

删除节点后,如果删除的节点为根节点,就结束。否则根据删除节点为父节点的左右调整父节点的平衡因子。如果删除节点是父节点的左孩子,那么父亲节点的平衡因子加1,否则减1。然后对父亲节点进行检索。
有以下几种情况:
第一种情况: 此时父亲的平衡因子为0,则说明删除前父亲的平衡因子为1或-1,多出一个左节点或右节点,删除节点后,左右高度相等,整体高度减1,对上层有影响,需要继续调节。下面是一个演示图:(如果此时3为根节点,那么也可以结束)

第二种情况: 此时父亲的平衡因子为-1或1,则说明删除前父亲的平衡因子为0,左右高度相等,删除节点后,少了一个左节点或右节点,但是整体高度不变,对上层无影响,不需要继续调节。下面是一个演示图:

第三种情况: 此时父亲节点的平衡因子为-2或2,则说明删除前父亲的平衡因子为-1或1,多了一个左节点或一个右节点,删除了一个右节点或左节点,此时多了两个左节点和右节点,这棵子树一边已经被拉高了,此时这棵子树不平衡了,需要旋转处理。下面是一个演示图:

🍍需要旋转处理的几种情况

这里我只分析右边高的情况,左边高和它对称的,操作是相同的。
情况一:
操作方法: 对parent进行左旋转,因为subR的平衡因子为0,需要继续检索,然后继续迭代,把cur迭代sub的位置,parent到cur的父亲的位置
具像图:

抽象图:

情况二:
操作方法: 对parent进行左旋,然后修改平衡因子,把subR的平衡因子改为-1,parent的平衡因子改为1,因为subR的平衡因子为-1,所以无需迭代,直接结束
具像图:

抽象图:

情况三:
操作方法: 对subR进行右旋,然后对parent进行左旋,此时subR的平衡因子为0,需迭代
具像图:

抽象图:

🍯删除代码如下

删除代码如下:

bool Erase(const K& key)

	if (_root == nullptr)
		return false;

	// 有节点时插入
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;

	while (cur)
	
		// 小于往左走
		if (key < cur->_kv.first)
		
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		
		// 大于往右走
		else if (key > cur->_kv.first)
		
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		
		else
		
			// 找到了
			// 1.左边为空,把parent指向cur的右
			// 2.右边为空,把parent指向cur的左
			// 3.左右都不为空,用右子树的最左边的节点(最小节点)的值替换要删除的节点,然后转换为用1的情况删除该节点
			if (cur->_left == nullptr)
			
				if (cur == _root)
				
					_root = cur->_right;
					delete cur;
					break;
				
				else
				
					if (parent->_left == cur)
					
						parent->_left = cur->_right;
						parent->_bf++;
					
					else
					
						parent->_right = cur->_right;
						parent->_bf--;
					

				

				if (parent->_bf != -1 && parent->_bf != 1) AfterEraseUpdateBf(parent);
				delete cur;
			
			else if (cur->_right == nullptr)
			
				if (cur == _root)
				
					_root = cur->_left;
					delete cur;
					break;
				
				else
				
					if (parent->_left == cur)
					
						parent->_left = cur->_left;
						parent->_bf++;
					
					else
					
						parent->_right = cur->_left;
						parent->_bf--;
					
				

				if (parent->_bf != -1 && parent->_bf != 1) AfterEraseUpdateBf(parent);
				delete cur;
			
			else
			
				Node* rightMinParent = cur;
				Node* rightMin = cur->_right;// 先去右子树
				while (rightMin->_left)
				
					rightMinParent = rightMin;
					rightMin = rightMin->_left;// 一种往左走
				

				cur->_kv = rightMin->_kv;

				// 替代删除
				// 删除minNode  第一种情况:左节点为空
				if (rightMinParent->_left == rightMin)
				
					rightMinParent->_left = rightMin->_right;
					rightMinParent->_bf++;
				
				else
				
					rightMinParent->_right = rightMin->_right;
					rightMinParent->_bf--;
				

				if 以上是关于C++进阶第十八篇——AVL树(概念+平衡因子的调节+旋转+代码实现)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

C++进阶数据结构_AVL树

C++进阶数据结构_AVL树

C++进阶第十九篇——红黑树(概念+代码实现)

初识C++之AVL树

C++进阶AVL树

C++进阶AVL树