概率论与数理统计 Chapter3. 随机变量的数字特征

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了概率论与数理统计 Chapter3. 随机变量的数字特征相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1. 重要定义 & 定理

1. 数学期望（均值）

1. 定义

  1. 离散变量的数学期望

    • 设随机变量X的取值范围为 a 1 , . . . , a n a_1, ..., a_n a1​,...,an​，其对应的概率分布为 P ( X = a i ) = p i P(X = a_i) = p_i P(X=ai​)=pi​，则X的数学期望 E ( X ) E(X) E(X)（或记为 E X EX EX）定义为：

      E ( X ) = ∑ i = 1 n a i p i E(X) = \\sum_i=1^n a_i p_i E(X)=i=1∑n​ai​pi​

  2. 无限级数的数学期望

    • 设随机变量X的取值范围为 a 1 , a 2 , . . . a_1, a_2, ... a1​,a2​,...，其对应的概率分布为 P ( X = a i ) = p i P(X = a_i) = p_i P(X=ai​)=pi​，且满足 ∑ i = 1 ∞ ∣ a i ∣ p i < ∞ \\sum_i=1^\\infty |a_i|p_i < \\infty ∑i=1∞​∣ai​∣pi​<∞，则变量X存在数学期望，且其数学期望表达式与上述离散分布相同，即：

      E ( X ) = ∑ i = 1 ∞ a i p i E(X) = \\sum_i=1^\\infty a_i p_i E(X)=i=1∑∞​ai​pi​

  3. 连续变量的数学期望

    • 设X有概率密度函数 f ( x ) f(x) f(x)，如果 ∫ − ∞ ∞ ∣ x ∣ f ( x ) d x < ∞ \\int_-\\infty^\\infty |x|f(x)dx < \\infty ∫−∞∞​∣x∣f(x)dx<∞，则X存在数学期望，其数学期望表达式为：

      E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x E(X) = \\int_-\\infty^\\infty xf(x)dx E(X)=∫−∞∞​xf(x)dx

2. 性质

  1. 若干个随机变量之和的期望等于他们各自的期望之和，即：

    E ( X 1 + . . . + X n ) = E ( X 1 ) + . . . + E ( X n ) E(X_1 + ... + X_n) = E(X_1) + ... + E(X_n) E(X1​+...+Xn​)=E(X1​)+...+E(Xn​)

  2. 若干个独立随机变量之积的期望等于他们各自的期望之积，即：

    E ( X 1 X 2 . . . X n ) = E ( X 1 ) E ( X 2 ) . . . E ( X n ) E(X_1X_2...X_n) = E(X_1)E(X_2)...E(X_n) E(X1​X2​...Xn​)=E(X1​)E(X2​)...E(Xn​)

  3. 随机变量函数的期望可以表示为：

    1. 离散型

      E ( g ( X ) ) = ∑ i g ( a i ) p i E(g(X)) = \\sum_i g(a_i)p_i E(g(X))=i∑​g(ai​)pi​

    2. 连续型

      E ( g ( X ) ) = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) f ( x ) d x E(g(X)) = \\int_-\\infty^\\infty g(x) f(x) dx E(g(X))=∫−∞∞​g(x)f(x)dx

  4. 如果 c c c为一个常数，则：

    E ( c ⋅ X ) = c ⋅ E ( X ) E(c\\cdot X) = c \\cdot E(X) E(c⋅X)=c⋅E(X)

2. 中位数

  • 设连续型随机变量X的分布函数为 F ( x ) F(x) F(x)，则满足条件 P ( X ≤ m ) = F ( m ) = 1 / 2 P(X \\leq m) = F(m) = 1/2 P(X≤m)=F(m)=1/2的数m成为X或者分布F的中位数。

3. 方差 & 标准差

1. 定义