数据结构与算法之深入解析“平衡二叉树”的求解思路与算法示例

Posted 2022-02-22 Serendipity·y

一、题目要求

• 给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。
• 本题中，一棵高度平衡二叉树定义为：一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。
• 示例 1：

输入：root = [3,9,20,null,null,15,7]
输出：true

• 示例 2：

输入：root = [1,2,2,3,3,null,null,4,4]
输出：false

• 示例 3：

输入：root = []
输出：true

• 提示：
• • 树中的节点数在范围 [0, 5000] 内；
• • -10⁴ <= Node.val <= 10⁴。

二、求解算法

• 平衡二叉树的定义是：二叉树的每个节点的左右子树的高度差的绝对值不超过 1，则二叉树是平衡二叉树。根据定义，一棵二叉树是平衡二叉树，当且仅当其所有子树也都是平衡二叉树，因此可以使用递归的方式判断二叉树是不是平衡二叉树，递归的顺序可以是自顶向下或者自底向上。

① 自顶向下的递归

• 定义函数 height，用于计算二叉树中的任意一个节点 p 的高度：

• 有了计算节点高度的函数，即可判断二叉树是否平衡。具体做法类似于二叉树的前序遍历，即对于当前遍历到的节点，首先计算左右子树的高度，如果左右子树的高度差是否不超过 1，再分别递归地遍历左右子节点，并判断左子树和右子树是否平衡，这是一个自顶向下的递归的过程。具体如下所示：

• Java 示例：

class Solution 
    public boolean isBalanced(TreeNode root) 
        if (root == null) 
            return true;
         else 
            return Math.abs(height(root.left) - height(root.right)) <= 1 && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
        
    

    public int height(TreeNode root) 
        if (root == null) 
            return 0;
         else 
            return Math.max(height(root.left), height(root.right)) + 1;
        
    

• C++ 示例：

class Solution 
public:
    int height(TreeNode* root) 
        if (root == NULL) 
            return 0;
         else 
            return max(height(root->left), height(root->right)) + 1;
        
    

    bool isBalanced(TreeNode* root) 
        if (root == NULL) 
            return true;
         else 
            return abs(height(root->left) - height(root->right)) <= 1 && isBalanced(root->left) && isBalanced(root->right);
        
    
;

② 自底向上的递归

• 方法①由于是自顶向下递归，因此对于同一个节点，函数 height 会被重复调用，导致时间复杂度较高。如果使用自底向上的做法，则对于每个节点，函数 height 只会被调用一次。
• 自底向上递归的做法类似于后序遍历，对于当前遍历到的节点，先递归地判断其左右子树是否平衡，再判断以当前节点为根的子树是否平衡。如果一棵子树是平衡的，则返回其高度（高度一定是非负整数），否则返回 −1。如果存在一棵子树不平衡，则整个二叉树一定不平衡。
• 具体如下：

• Java 示例：

class Solution 
    public boolean isBalanced(TreeNode root) 
        return height(root) >= 0;
    

    public int height(TreeNode root) 
        if (root == null) 
            return 0;
        
        int leftHeight = height(root.left);
        int rightHeight = height(root.right);
        if (leftHeight == -1 || rightHeight == -1 || Math.abs(leftHeight - rightHeight) > 1) 
            return -1;
         else 
            return Math.max(leftHeight, rightHeight) + 1;
        
    

• C++ 示例：

class Solution 
public:
    int height(TreeNode* root) 
        if (root == NULL) 
            return 0;
        
        int leftHeight = height(root->left);
        int rightHeight = height(root->right);
        if (leftHeight == -1 || rightHeight == -1 || abs(leftHeight - rightHeight) > 1) 
            return -1;
         else 
            return max(leftHeight, rightHeight) + 1;
        
    

    bool isBalanced(TreeNode* root) 
        return height(root) >= 0;
    
;