(5)三次样条和B样条

Posted 2023-03-10

参考技术A     首先什么是样条？ 是 区间上的 个不同的点，当满足如下两个条件的时候， 就称为一个 次的样条函数

(1)

(2)

    也就是说，在每个小区间上是 次多项式，并且整体是 阶连续的。注意这里对样条的定义并没有要求在每个点 上函数值相等，如果真的满足了 ，那么这就称为样条插值函数。

    接下来有一个结论：

结论：对于 区间上由 个点所构建的所有的 次样条函数张成的函数空间 ，其维数 。

    这也就是说，对于任意一个样条 ，它写成基函数的形式应该是

                                                

    而实际上，根据基函数的选择不同，对应的样条当然也不同，其中比较有名的是三次样条和B样条。

    我们考虑 这一情况，并且是插值样条，也就说 ，并且由于三次样条要求二阶连续，那么对于所有内部的节点 ，应该要求这些点处一阶导数和二阶导数应该左右相等。计算一下不难发现，这样还缺少两个条件，这里需要边界条件，根据边界条件的不同，插值样条也不同。如自然样条要求边界点的二阶导数为0。

    构造三次样条插值函数的方法如下，可以从每个区间的二阶导数出发做一个线性插值，然后根据内部条件还有边界条件构造方程组，最后解一个三对角的行列式。

    B样条的理论挺复杂的，在CAGD等领域是重点研究的方向。这里挖个坑，不写了。

总结：插值先告一段落了。之前写的都是一元函数的插值，实际上多元插值在研究领域中更重要，包括多元样条，有限元等。从下一篇开始，写数值积分。