高斯消元解线性方程组（浮点高斯消元模板）

Posted 2022-02-21 MangataTS

题目连接

https://www.acwing.com/problem/content/885/

思路

高斯消元的思路如下：

• 1.我们从上到下，从左到右开始消元，对于每一行我们只保留当前[i,i]行的值为1，这样就是一个阶梯型的
• 2.由于是从上往下的，所以我们每一次开始消元的时候先选取绝对值最大的当前这一列的值的位置，然后将这一行与我们处理到的最上面的一行进行数据交换
• 3.将我们当前处理的第r行的第c列系数变为1方便后面消元，对于这一步我们用的是初等变换中的等式两边同时乘上一个数
• 4.我们将当前第r行下面的所有第c列的系数全部消为0，对于这一步我们用的是初等变换中的方程相加减
• 5.最后如果有唯一解的话，那我们从下往上开始递推每一个方程的解决，由于最下面的方程我们是可以直接的到方程的解的，所以我们从下往上不断地消除后面解的影响

注：
1.为什么每次要去绝对值最大的数，因为我们不想取到接近0的数，因为这样会影响到我们构造阶梯型矩阵
2.高斯消元思路不难，但是实现起来可能稍不注意就写错了，可以通过写一个输出函数，每次输出当前消元的情况这样更好debug

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//----------------自定义部分----------------
#define ll long long
#define mod 1000000007
#define endl "\\n"
#define PII pair<int,int>
#define INF 0x3f3f3f3f
const double EPS = 1e-8;

int dx[4] = -1, 0, 1, 0, dy[4] = 0, 1, 0, -1;

ll ksm(ll a,ll b) 
	ll ans = 1;
	for(;b;b>>=1LL) 
		if(b & 1) ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
	
	return ans;


ll lowbit(ll x)return -x & x;

const int N = 1e2+10;
//----------------自定义部分----------------
int t,n,m,q;
double a[N][N];

void out()
	for(int i = 0;i < n; ++i)
		for(int j = 0;j <= n; ++j)
			printf("%.2lf ",a[i][j]);
		
		puts("");
	
	puts("");


int guss()
	int c,r;
	for(c=0,r=0; c < n; ++c)

		int t = r;
		for(int j = r + 1;j < n; ++j) 
			if(fabs(a[j][c]) > fabs(a[t][c])) 
				t = j;
		if(fabs(a[t][c]) < EPS) continue;//当前已经被消元过了
		
		for(int i = c; i <= n; ++i) swap(a[t][i],a[r][i]);//将绝对值最大的这一行与最上面的交换
		for(int i = n;i >= c; --i) a[r][i] /= a[r][c];//将当前这个方程的第c列系数变为1
		//将下面的方程的第c列全部消为0
		for(int i = r + 1;i < n; ++i)
			if(fabs(a[i][c]) > EPS)//如果需要消元的话
				for(int j = n;j >= c; --j)
					a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];//方程相加减
			
			
		r++;
	
	if(r < n)
		for(int i = r;i < n; ++i)
			if(fabs(a[i][n]) > EPS) 
				return 2;
		return 1;
	
	//最后一部从下往上递推方程的每一个解
	for(int i = n-1;i >= 0; --i) 
		for(int j = i + 1;j <= n; ++j)
			a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
		if(fabs(a[i][n]) < EPS) a[i][n] = 0.0;//防止-0.0的情况
	
	return 0;


void slove()
	cin>>n;
	for(int i = 0;i < n; ++i)
		for(int j = 0;j <= n; ++j)
			scanf("%lf",&a[i][j]);
	
	int t = guss();
	if(t == 1) puts("Infinite group solutions");
	else if(t == 2) puts("No solution");
	else
		for(int i = 0;i < n; ++i)
			printf("%.2lf\\n",a[i][n]);
	
	


int main()

//	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	t = 1;
	while(t--)
		slove();
	
	
	return 0;