C语言每日一练 —— 第22天：零基础学习动态规划

Posted 2022-02-21 英雄哪里出来

文章目录

• 一、前言
• 二、递推
• • 1、斐波那契数列
  • • 1）题目描述
    • 2）算法分析
    • 3）源码详解
    • 4）简单复盘
  • 2、爬楼梯
  • • 1）题目描述
    • 2）算法分析
    • 3）源码详解
    • 4）简单复盘
• 三、线性DP
• • 1、使用最小花费爬楼梯
  • • 1）题目描述
    • 2）算法分析
    • 3）源码详解
    • 4）简单复盘
  • 2、打家劫舍
  • • 1）题目描述
    • 2）算法分析
    • 3）源码详解
    • 4）简单复盘
  • 3、删除并获得点数
  • • 1）题目描述
    • 2）算法分析
    • 3）源码详解
    • 4）简单复盘
  • 4、最大子数组和
  • • 1）题目描述
    • 2）算法分析
    • 3）源码详解
    • 4）简单复盘
• 四、总结复盘
• • 1、状态
  • 2、状态转移
  • 3、时间复杂度
  • 4、线性DP拓展
  • 5、刷题路线

一、前言

    之前的文章中，我有讲过一些经典的动态规划，例如：最长单调子序列、最长公共子序列、最小编辑距离、背包问题、记忆化搜索、区间DP、数位DP，其中不乏一些较难的内容，不太好理解，所以这篇文章，我会对基础的动态规划再做一个梳理，从最简单的线性DP开始讲起，来谈谈零基础如何一步一步搞清楚动态规划。
    点击文末【阅读原文】可跳转到视频讲解。

二、递推

    首先让我们来看一下，零基础学习动态规划前必须要看的一道题。

1、斐波那契数列

1）题目描述

    给定一个 $n(0\le n\le 30)$，求斐波那契数列的第 $n$ 项。

2）算法分析

    斐波那契数列就是一个从 $0$ 和 $1$ 开始，其后每一项都等于前两项的和，就像这样：
$$\begin{gathered} F(0)=0 \\ F(1)=1 \\ F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中n>1 \end{gathered}$$

    拿到这个题目，我们首先来看题目范围，$n$ 最多不超过 30，那是因为斐波那契数的增长速度很快，是指数级别的。所以如果 $n$ 很大，就会超过 c语言 中32位整型的范围。这是一个最基础的递推题，递推公式都已经告诉你了，我们要做的就是利用一个循环来实现这个递推。

3）源码详解

int fib(int n) 
    int i;                      // (1)
    int f[31] = 0, 1;         // (2)
    for(i = 2; i <= n; ++i)    // (3)
        f[i] = f[i-1] + f[i-2]; // (4)
    
    return f[n];                // (5)

• $(1)$ 首先定义一个循环变量；
• $(2)$ 再定义一个数组记录斐波那契数列的第 $n$ 项，并且初始化第 $0$ 项 和 第 $1$ 项。
• $(3)$ 然后一个 for 循环，从第 2 项开始；
• $(4)$ 利用递推公式逐步计算每一项的值；
• $(5)$ 最后返回第 $n$ 项即可。

4）简单复盘

    递推其实是一种最简单的状态转移，如果对状态的概念还比较模糊，没有关系。接下来的内容，我会不断给你灌输状态的概念，接下来让我们来看另一道题，它是斐波那契数列的简单应用。

2、爬楼梯

1）题目描述

    给定一个 $n(1\le n\le 45)$ 代表总共有 $n$ 阶楼梯，一开始在第 $0$ 阶，每次可以爬 $1$ 或者 $2$ 个台阶，问总共有多少种不同的方法可以爬到楼顶。

2）算法分析

    我们定义一个数组 $f[46]$，其中 $f[i]$ 表示从第 $0$ 阶爬到第 $i$ 阶的方案数。

    由于每次可以爬 $1$ 或者 $2$ 个台阶，所以对于第 $i$ 阶楼梯来说，所以要么是从第 $i-1$ 阶爬过来的，要么是从 $i-2$ 阶爬过来的，如图所示：

    于是得出一个递推公式
$$f[i]=f[i-1]+f[i-2]$$
    我们发现这个就是斐波那契数列，你可以叫它递推公式，也可以叫它状态转移方程。这里的 $f[i]$ 就是状态的概念，从一个状态到另一个状态就叫状态转移。
    当然我们还要考虑初始状态，$f[0]$ 代表从第 $0$ 阶到第 $0$ 阶的方案数，当然就是 $1$ 啦，$f[1]$ 代表从第 $0$ 阶到第 $1$ 阶的方案数，由于只能走 $1$ 阶，所以方案数也是 $1$。

3）源码详解

int climbStairs(int n)
    int i;                      // (1)
    int f[46] = 1, 1;         // (2)
    for(i = 2; i <= n; ++i)    // (3)
        f[i] = f[i-1] + f[i-2]; // (4)
    
    return f[n];                // (5)

• $(1)$ 首先定义一个循环变量；
• $(2)$ 再定义一个数组 $f[i]$ 代表从第 $0$ 阶爬到第 $i$ 阶的方案数；
• $(3)$ 然后一个 for 循环，从第 2 项开始；
• $(4)$ 利用递推公式逐步计算每一项的值；
• $(5)$ 最后返回第 $n$ 项即可。

4）简单复盘

    通过这道题我们发现，一个问题可以有不同的问法，但是最后解法是相同的。如何把复杂的问题转换成我们学过的内容就是抽象问题的能力，抽象这个词很抽象，需要不断的练习才能领悟其中的精髓。

三、线性DP

    递推也是某种意义上的线性DP，线性DP的最大特征就是状态是用一个一维数组表示的，一般状态转移的时间复杂度为 $O(1)$ 或者 $O(n)$。
    让我们来看一个线性DP的经典例子来加深理解。

1、使用最小花费爬楼梯

1）题目描述

    给定一个 $n(n\le 1000)$，再给定一个 $n$ 个整数的数组 $cost$， 其中 $cost[i]$ 是从楼梯第 $i$ 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
    可以选择从下标为 $0$ 或下标为 $1$ 的台阶开始爬楼梯，请计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

2）算法分析

    我们发现这题和之前的爬楼梯很像，只不过从原来的计算方案数变成了计算最小花费。
    我们尝试用一个数组来表示状态：$f[i]$ 表示爬到第 $i$ 层的最小花费。

由于每次只能爬 $1$ 个或者 $2$ 个台阶，所以 $f[i]$ 这个状态只能从 $f[i-1]$ 或者 $f[i-2]$ 转移过来：
    1）如果从 $i-1$ 爬上来，需要的花费就是 $f[i-1]+cost[i-1]$；
    2）如果从 $i-2$ 爬上来，需要的花费就是 $f[i-2]+cost[i-2]$；
    没有其他情况了，而我们要 求的是最小花费，所以 $f[i]$ 就应该是这两者的小者，得出状态转移方程：
$$f[i]=min(f[i-1]+cost[i-1],f[i-2]+cost[i-2])$$
    然后考虑一下初始情况 $f[0]$ 和 $fC语言每日一练——第90天：青蛙跳台阶（升级版）$

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