差分与前缀和

Posted 2022-02-19 行码棋

前置知识

前缀和

一维前缀和：

$s[i]=a[1]+a[2]+...+a[i]$

初始化：

for(int i=1;i<=n;i++)
	s[i] = s[i-1] + a[i];

二维前缀和：

$s[i][j]$ : 第i行第j列左上部分所有元素的和

以$(x_1,y_1)$为左上角，$(x_2,y_2)$为右下角的子矩阵的和为：

矩阵长宽都为1
$s[x2][y2]-s[x2-1][y2]-s[x2][y2-1]+s[x2-1][y2-1]$
矩阵长宽都为k
$s[x2][y2]-s[x2-k][y2]-s[x2][y2-k]+s[x2-k][y2-k]$

差分

差分数组b[i]代表a[i]-a[i-1]两个元素之间的差

给区间$[l,r]$中的每个数加上c：
$b[l]+=c,b[r+1]-=c$

两者结合

差分数组b[i]=a[i]-a[i-1]
差分前缀和数组s[i]=s[i-1]+b[i]
做区间修改时一直进行差分数组的操作，最后统计时利用差分数组计算差分前缀和。
注意是差分前缀和，是最后一个值与前面初始值之间（初始值如果用的是0，则表示当前值）的差距，而不是真正的前缀和。
$s[i]=s[i-1]+b[i]$
$s[i]$为区间修改之后的a[i]

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题目

蓝彗星

链接：
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/23479/C

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s1[i]：代表B的差分
s2[i]：代表R的差分

对差分求前缀和得到的是当前值，如果当前值为正说明存在，为0说明不存在

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+5; 

int main()

	vector<int>s1(N,0),s2(N,0);
	int n,t;
	cin>>n>>t;
	string s;
	cin>>s;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	
		int x;cin>>x;
		if(s[i-1]=='B') s1[x]++, s1[x+t]--;
		else s2[x]++, s2[x+t]--;
	
	int res = 0;
	for(int i=1;i<=2e5;i++)
	
		s1[i] += s1[i-1];
		s2[i] += s2[i-1];
		res += (s1[i] && !s2[i]);
	
	cout<<res<<endl;
	return 0;
  

把它当成思维题来写：
bl,br为B的左右区间
R只负责对B的区间进行切割

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+5;
pair<int,char>p[N];

int main()

	int n,k;
	cin>>n>>k;
	
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i].se;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i].fi;
	sort(p+1,p+1+n);
	
	ll res = 0;
	int bl = 0,br = 0;
	int rl=0,rr=0;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	
		if(p[i].se == 'B') //yanxu jisuan 
		
			if(p[i].fi>br)
			
				res += max(br-bl,0);
				bl = max(rr,p[i].fi);
				br = p[i].fi + k;
			
			else br = max(p[i].fi + k,br);
		
		
		if(p[i].se == 'R')//qiege
		
			br = min(p[i].fi,br);
			rr = max(rr,p[i].fi + k);
		
//		cout<<bl<<"--"<<br<<endl;
	
	if(bl and br) res += max(br-bl,0);
	cout<<res<<endl;
	return 0;