AVL树的性质及插入实现
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了AVL树的性质及插入实现相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
底层结构
前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现
AVL 树
AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年
发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之
差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 ，搜索时间复杂度O(logN )。
AVL树节点的定义
AVL树节点的定义：
template<class T>
struct AVLTreeNode
AVLTreeNode(const T& data)
: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
, _data(data), _bf(0)
AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
T _data;
int _bf; // 该节点的平衡因子
;
AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 调整节点的平衡因子
bool Insert(const T& data)
// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
// ...
// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性
/*
pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理
*/
while (pParent)
// 更新双亲的平衡因子
if (pCur == pParent->_pLeft)
pParent->_bf--;
else
pParent->_bf++;
// 更新后检测双亲的平衡因子
if (0 == pParent->_bf)
break;
else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树
// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
pCur = pParent;
pParent = pCur->_pParent;
else
// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
// 为根的树进行旋转处理
if(2 == pParent->_bf)
// ...
else
// ...
return true;
AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种 ：
-
新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
长方形表示一棵子树，可能不止一个节点，h表示树的高度
/* 上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30的左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑： 1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在 2. 60可能是根节点，也可能是子树 如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树 */ //右单旋 void RotateR(pnode parent) pnode subL = parent->_left; pnode subLR = subL->_right; parent->_left = subLR; subL->_right = parent; if (subLR != nullptr) subLR->_parent = parent; pnode pparent = parent->_parent; parent->_parent = subL; if (parent == _root) _root = subL; subL->_parent = nullptr; else subL->_parent = pparent; if (pparent->_left == parent) pparent->_left = subL; else pparent->_right = subL; //更新平衡因子 parent->_bf = subL->_bf = 0; -
新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
//左单旋 void RotateL(pnode parent) pnode subR = parent->_right; pnode subRL = subR->_left; subR->_left = parent; parent->_right = subRL; if (subRL != nullptr)//右子树的左子树不为空，就更新自己的parent subRL->_parent = parent; //更新parent和subR的parent pnode pparent = parent->_parent;//保存爷爷节点，因为parent修改了自己的parent指向后就找不到爷爷节点了 parent->_parent = subR; if (parent == _root)//如果parent是根节点，则需要更新根节点 _root = subR; subR->_parent = nullptr; else//parent也是一个子节点 subR->_parent = pparent; if (pparent->_left == parent)//parent是爷爷节点的左子树 pparent->_left = subR; else//parent是爷爷节点的右子树 pparent->_right = subR; //更新平衡因子 parent->_bf = subR->_bf = 0; -
新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
对下图的b或c进行插入
-
插在c上：subLR->_bf == 1
-
插在b上：subLR->_bf == -1
-
还有一种情况：subLR->_bf == 0
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因
子的更新//左右旋 void RotateLR(pnode parent) pnode subL = parent->_left; pnode subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf;//旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子 //先左单旋subL RotateL(subL); //再右单旋parent RotateR(parent);//手误写成subLR，调了一小时才找出来 //更新平衡因子 if (bf == 1) parent->_bf = 0; subL->_bf == -1; subLR->_bf == 0; else if (bf == -1) parent->_bf = 1; subL->_bf == 0; subLR->_bf == 0; else if (bf == 0) parent->_bf == 0; subL->_bf == 0; subLR->_bf == 0; -
-
新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
对下图的b或c进行插入
-
插在b上，subRL->_bf == -1
-
插在c上，subRL->_bf == 1
-
还有一种情况，subRL->_bf == 0
先对subR进行右旋，再对parent进行左旋
//右左旋 void RotateRL(pnode parent) pnode subR = parent->_right; pnode subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; //先右单旋subR RotateR(subR); //再左单旋parent rotateL(parent); //更新平衡因子 if (bf == 1) parent->_bf = -1; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; else if (bf == -1) parent->_bf = 0; subR->_bf = 1; subRL->_bf = 0; else if (bf == 0) parent->_bf = 0; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; -
总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
- 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
- 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
- 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
- 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
-
验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树void _InOrder(pnode root) if (root == nullptr) return; //自己写的层序打印，为了调bug，但格式没有控制好 /*queue<pnode> q; q.push(root); while (!q.empty()) int size = q.size(); while (size--) auto front = q.front(); q.pop(); if (front->_left) q.push(front->_left); if (front->_right) q.push(front->_right); cout << front->_kv.first << " "; cout << endl; */ _InOrder(root->_left); std::cout << root->_kv.first << " "; _InOrder(root->_right); //中序遍历 void InOrder() _InOrder(_root); std::cout << std::endl; -
验证其为平衡树
-
每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
-
节点的平衡因子是否计算正确
//计算树的高度 int Height(pnode root) if (root == nullptr) return 0; return 1 + max(Height(root->_left), Height(root->_right)); //判断树是否平衡 bool _IsBalance(pnode root) if (root == nullptr) return true; int leftheight = Height(root->_left); int rightheight = Height(root->_right); return abs(leftheight - rightheight) < 2 && _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right); bool IsBalance() return _IsBalance(_root); -
-
验证用例
请同学们结合上述代码按照以下的数据次序，自己动手画AVL树的创建过程，验证代码是否有漏洞。-
常规场景1
16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 -
特殊场景2
4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14
-
代码整合：
#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
#include<queue>
using namespace std;
namespace ysj
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf; // 平衡因子 balance factor
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
, _kv(kv)
//AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
// :_left(nullptr)
// ,_right(nullptr)
// ,_parent(nullptr)
// ,_bf(0)
// ,_kv(kv)
//
//int _bf;//平衡因子balance factor
//pair<K, V> _kv;//键值对
//AVLTreeNode<K, V>* _left;
//AVLTreeNode<K, V>* _right;
//AVLTreeNode<K, V>* _parent;
;
template<class K, class V>
class AVLTree
typedef AVLTreeNode<K, V> node;
typedef AVLTreeNode<K, V>* pnode;
private:
pnode _root;
public:
AVLTree()
:_root(nullptr)
//左单旋
void RotateL(pnode parent)
pnode subR = parent->_right;
pnode subRL = subR->_left;
subR->_left = parent;
parent->_right = subRL;
if (subRL != nullptr)//右子树的左子树不为空，就更新自己的parent
subRL->_parent = parent;
//更新parent和subR的parent
pnode pparent = parent->_parent;//保存爷爷节点，因为parent修改了自己的parent指向后就找不到爷爷节点了
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)//如果parent是根节点，则需要更新根节点
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
else//parent也是一个子节点
subR->_parent = pparent;
if (pparent->_left == parent)//parent是爷爷节点的左子树
pparent->_left = subR;
else//parent是爷爷节点的右子树
pparent->_right = subR;
//更新平衡因子
//除parent修改外，其它的都没变
parent->_bf = 0;
//右单旋
void RotateR(pnode parent)
pnode subL = parent->_left;
pnode subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
subL->_right = parent;
if (subLR != nullptr)
subLR->_parent = parent;
pnode pparent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
else
subL->_parent = pparent;
if (pparent->_left == parent)
pparent->_left = subL;
else
pparent->_right = subL;
//更新平衡因子
parent->_bf = 0;
//左右旋
void RotateLR(pnode parent)
pnode subL = parent->_left;
pnode subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;//旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
//先左单旋subL
RotateL(subL);
//再右单旋parent
RotateR(parent);
// 平衡因子更新
if (bf == 1)
subL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
else if (bf == -1)
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
else if (bf == 0)
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
else
assert(false);
更新平衡因子
//if (bf == 1)
//
// parent->_bf = 0;
// subL->_bf == -1;
// subLR->_bf == 0;
//
//else if (bf == -1)
//
// parent->_bf = 1;
// subL->_bf == 0;
// subLR->_bf == 0;
//
//else if (bf == 0)
//
// parent->_bf == 0;
// subL->_bf == 0;
// subLR->_bf == 0;
//
//else
//
// assert(false);
//
//右左旋
void RotateRL(pnode parent)
pnode subR = parent->_right;
pnode subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
//先右单旋subR
RotateR(subR);
//再左单旋parent
RotateL(parent);
//更新平衡因子
if (bf == 1)
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
else if (bf == -1)
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
else if (bf == 0)
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
else
assert(false);
bool insert(const pair<K, V>& kv)
if (_root == nullptr)
_root = new node(kv);
return true;
pnode cur = _root;
pnode parent = nullptr;
//找到插入位置
while (cur)
if (cur->_kv.first > kv.first)//往左边查找
parent = cur;
cur = cur->_left;
else if (cur->_kv.first < kv.first)//往右边查找
parent = cur;
cur = cur->_right;
else//已存在，不需插入
C++AVL树的简单实现及验证
[C/C++]详解STL容器6--AVL树的介绍及部分模拟实现
[C/C++]详解STL容器4--AVL树的介绍及部分模拟实现