数据结构与算法概论

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目录


1 数据结构与算法概述

1.1 数据结构

1.1.1 概述

数据结构是计算机存储、组织数据的方式。数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下,精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率

1.1.2 划分

从关注的维度看,数据结构可以划分为数据的逻辑结构物理结构同一逻辑结构可以对应不同的存储结构逻辑结构反映的是数据元素之间的逻辑关系,逻辑关系是指数据元素之间的前后间以什么形式相互关联,这与他们在计算机中的存储位置无关。逻辑结构包括:
集合:只是扎堆凑在一起,没有互相之间的关联

线性结构:一对一关联,队形
树形结构:一对多关联,树形
图形结构:多对多关联,网状

数据物理结构指的是逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式(也称为存储结构)。一般来说,一种数据结构的逻辑结构根据需要可以表示成多种存储结构,常用的存储结构有顺序存储、链式存储、索引存储和哈希存储等。

顺序存储:用一组地址连续的存储单元依次存储集合的各个数据元素,可随机存取,但增删需要大批移动

链式存储:不要求连续,每个节点都由数据域和指针域组成,占据额外空间,增删快,查找慢需要遍历

索引存储:除建立存储结点信息外,还建立附加的索引表来标识结点的地址。检索快,空间占用大

哈希存储:将数据元素的存储位置与关键码之间建立确定对应关系,检索快,存在映射函数碰撞问题

1.1.3 程序中常见的数据结构

数组(Array):连续存储,线性结构,可根据偏移量随机读取,扩容困难
栈( Stack):线性存储,只允许一端操作,先进后出,类似水桶
队列(Queue):类似栈,可以双端操作。先进先出,类似水管
链表( LinkedList):链式存储,配备前后节点的指针,可以是双向的
树( Tree):典型的非线性结构,从唯一的根节点开始,子节点单向执行前驱(父节点)
图(Graph):另一种非线性结构,由节点和关系组成,没有根的概念,互相之间存在关联
堆(Heap):特殊的树,特点是根结点的值是所有结点中最小的或者最大的,且子树也是堆
散列表(Hash):源自于散列函数,将值做一个函数式映射,映射的输出作为存储的地址

1.2 算法

算法指的是基于存储结构下,对数据如何有效的操作,采用什么方式可以更有效的处理数据,提高数据运算效率

数据的运算是定义在数据的逻辑结构上,但运算的具体实现要在存储结构上进行。一般涉及的操作有以下几种:
检索:在数据结构里查找满足一定条件的节点。
插入:往数据结构中增加新的节点,一般有一点位置上的要求。
删除:把指定的结点从数据结构中去掉,本身可能隐含有检索的需求。
更新:改变指定节点的一个或多个字段的值,同样隐含检索。
排序:把节点里的数据,按某种指定的顺序重新排列,例如递增或递减。

2 复杂度

2.1 时间复杂度

简单理解,为了某种运算而花费的时间,使用大写O表示。一般来讲,时间是一个不太容易计量的维度,而为了计
算时间复杂度,通常会估计算法的操作单元数量,而假定每个单元运行的时间都是相同的。因此,总运行时间和算
法的操作单元数量一般来讲成正比,最多相差一个常量系数。一般来讲,常见时间复杂度有以下几种:
1)常数阶O(1):时间与数据规模无关,如交换两个变量值

int i=1,j=2,k
k=i;i=j;j=k;

2)线性阶O(n):时间和数据规模呈线性,可以理解为n的1次方,如单循环里的操作

for(i=1;i<=n;i++)
    do();

3)k次方阶O(n^k ):执行次数是数量的k次方,如多重循环,以下为2次方阶实例

for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=n;j++)
        do();
    

4)指数阶O(2^n):随着n的上升,运算次数呈指数增长

for(i=1;i<= 2^n;i++)
    do();

5)对数阶O(log2n)(以2为底n的对数,下同):执行次数呈对数缩减,如下

for(i=1;i<= 2^n;i++)
    do();

6)线性对数阶O(log2n):在对数阶的基础上,进行线性n倍乘积

 for(i=1;i<=2^n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)    
            do();        
            
    

7)总结:
时间复杂度由小到大依次为:Ο(1)<Ο(log2n)(以2为底n的对数)<Ο(n)<Ο(nlog2n)(以2为底n的对数)<Ο(n^2)<...<Ο (n^k ) <Ο(2^n)<Ο(n!)

2.2 空间复杂度

与时间复杂度类似,空间复杂度是对一个算法在运行过程中占用内存空间大小的度量。一个程序执行时除了需要存储空间和存储本身所使用的指令、常数、变量和输入数据外,还需要一些对数据进行操作的辅助空间。而空间复杂度主要指的是这部分空间的量级。

固定空间:主要包括指令空间、常量、简单变量等所占的空间,这部分空间的大小与运算的数据多少无关,属于静态空间。

可变空间:主要包括运行期间动态分配的临时空间,以及递归栈所需的空间等,这部分的空间大小与算法有很大关系。

同样,空间复杂度也用大写O表示,相比时间复杂度场景相对简单,常见级别为O(1)和O(n),以数组逆序为例,两
种不同算法对复杂度影响如下:

1)O(1):常数阶,所占空间和数据量大小无关。

//定义前后指针,和一个临时变量,往中间移动
//无论a多大,占据的临时空间只有一个temp
int[] a=1,2,3,4,5;
int i=0,j=a.length‐1;
while (i<=j)
    int temp = a[i];
    a[i]=a[j];
    a[j]=temp;
    i++;
    j‐‐;

2)O(n):线性阶,与数据量大小呈线性关系

//定义一个和a同等大小的数组b,与运算量a的大小呈线性关系
//给b赋值时,倒序取a
int[] a=1,2,3,4,5;
int[] b=new int[a.length];
for (int i = 0; i < a.length; i++) 
    b[i]=a[a.length‐1‐i];

2.3 类比

对于一个算法,其时间复杂度和空间复杂度往往是相互影响的。时间复杂度低可能借助占用大的存储空间来弥补,反之,某个算法所占据空间小,那么可能就需要占用更多的运算时间。两者往往需要达到一种权衡。

在特定环境下的业务,还需要综合考虑算法的各项性能,如使用频率,数据量的大小,所用的开发语言,运行的机器系统等。两者兼顾权衡利弊才能设计出最适合当前场景的算法。

3 算法思想

3.1 分而治之

把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题,直到最后子问题小到可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础,如排序算法(快速排序,归并排序),傅立叶变换(快速傅立叶变换),大数据中的MR,现实中如汉诺塔游戏。

分治法对问题有一定的要求:
该问题缩小到一定程度后,就可以轻松解决
问题具有可拆解性,不是一团无法拆分的乱麻
拆解后的答案具有可合并性。能组装成最终结果
拆解的子问题要相互独立,互相之间不存在或者很少有依赖关系

3.2 动态规划

基本思想与分治法类似,也是将待求解的问题分解为若干个子问题(阶段),按顺序求解子阶段,前一子问题的解,为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时,列出各种可能的局部解,通过决策保留那些有可能达到最优的局部解,丢弃其他。依次解决各子问题,最后一个子问题就是初始问题的解

与分治法最大的不同在于,分治法的思想是并发,动态规划的思想是分步。该方法经分解后得到的子问题往往不是互相独立的,其下一个子阶段的求解往往是建立在上一个子阶段的解的基础上。动态规划算法同样有一定的适用性

场景要求:
最优化解:拆解后的子阶段具备最优化解,且该最优化解与追踪答案方向一致流程向前,无后效性:上一阶段的解决方案一旦确定,状态就确定,只会影响下一步,而不会反向影响

阶段关联:
上下阶段不是独立的,上一阶段会对下一阶段的行动提供决策性指导。这不是必须的,但是如果具备该特征,动态规划算法的意义才能更大的得到体现

3.3 贪心算法

同样对问题要求作出拆解,但是每一步,以当前局部为目标,求得该局部的最优解。那么最终问题解决时,得到完整的最优解。也就是说,在对问题求解时,总是做出在当前看来是最好的选择,而不去从整体最优上加以考虑。从这一角度来讲,该算法具有一定的场景局限性

要求问题可拆解,并且拆解后每一步的状态无后效性(与动态规划算法类似)
要求问题每一步的局部最优与整体最优解方向一致21。至少会导向正确的主方向。

3.4 回溯算法

回溯算法实际上是一个类似枚举的搜索尝试过程,在每一步的问题下,列举可能的解决方式。选择某个方案往深度探究,寻找问题的解,当发现已不满足求解条件,或深度达到一定数量时,就返回,尝试别的路径
回溯法一般适用于比较复杂的,规模较大的问题。有“通用解题法”之称。问题的解决方案具备可列举性,数量有限界定回溯点的深度。达到一定程度后,折返

3.5 分支限界

与回溯法类似,也是一种在空间上枚举寻找最优解的方式。但是回溯法策略为深度优先
分支法为广度优先。分支法一般找到所有相邻结点,先采取淘汰策略,抛弃不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。然后从存活表中选择一个结点作为下一个操作对象。

4 总结

针对算法做了相应的回顾
算法的考量:时间与空间复杂度
算法的基本思想

以上是关于数据结构与算法概论的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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