数据结构与算法概论

Posted 2022-02-12 赵广陆

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构与算法概论相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1 数据结构与算法概述

1.1 数据结构

1.1.1 概述

数据结构是计算机存储、组织数据的方式。数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。

1.1.2 划分

从关注的维度看，数据结构可以划分为数据的逻辑结构和物理结构，同一逻辑结构可以对应不同的存储结构。逻辑结构反映的是数据元素之间的逻辑关系，逻辑关系是指数据元素之间的前后间以什么形式相互关联，这与他们在计算机中的存储位置无关。逻辑结构包括：
集合：只是扎堆凑在一起，没有互相之间的关联

线性结构：一对一关联，队形
树形结构：一对多关联，树形
图形结构：多对多关联，网状

数据物理结构指的是逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式(也称为存储结构)。一般来说，一种数据结构的逻辑结构根据需要可以表示成多种存储结构，常用的存储结构有顺序存储、链式存储、索引存储和哈希存储等。

顺序存储：用一组地址连续的存储单元依次存储集合的各个数据元素，可随机存取，但增删需要大批移动

链式存储：不要求连续，每个节点都由数据域和指针域组成，占据额外空间，增删快，查找慢需要遍历

索引存储：除建立存储结点信息外，还建立附加的索引表来标识结点的地址。检索快，空间占用大

哈希存储：将数据元素的存储位置与关键码之间建立确定对应关系，检索快，存在映射函数碰撞问题

1.1.3 程序中常见的数据结构

数组(Array)：连续存储，线性结构，可根据偏移量随机读取，扩容困难
栈( Stack)：线性存储，只允许一端操作，先进后出，类似水桶
队列(Queue)：类似栈，可以双端操作。先进先出，类似水管
链表( LinkedList)：链式存储，配备前后节点的指针，可以是双向的
树( Tree)：典型的非线性结构，从唯一的根节点开始，子节点单向执行前驱（父节点）
图(Graph)：另一种非线性结构，由节点和关系组成，没有根的概念，互相之间存在关联
堆(Heap)：特殊的树，特点是根结点的值是所有结点中最小的或者最大的，且子树也是堆
散列表(Hash)：源自于散列函数，将值做一个函数式映射，映射的输出作为存储的地址

1.2 算法

算法指的是基于存储结构下，对数据如何有效的操作，采用什么方式可以更有效的处理数据，提高数据运算效率。

数据的运算是定义在数据的逻辑结构上，但运算的具体实现要在存储结构上进行。一般涉及的操作有以下几种：
检索：在数据结构里查找满足一定条件的节点。
插入：往数据结构中增加新的节点，一般有一点位置上的要求。
删除：把指定的结点从数据结构中去掉，本身可能隐含有检索的需求。
更新：改变指定节点的一个或多个字段的值，同样隐含检索。
排序：把节点里的数据，按某种指定的顺序重新排列，例如递增或递减。

2 复杂度

2.1 时间复杂度

简单理解，为了某种运算而花费的时间，使用大写O表示。一般来讲，时间是一个不太容易计量的维度，而为了计
算时间复杂度，通常会估计算法的操作单元数量，而假定每个单元运行的时间都是相同的。因此，总运行时间和算
法的操作单元数量一般来讲成正比，最多相差一个常量系数。一般来讲，常见时间复杂度有以下几种：
1）常数阶O(1)：时间与数据规模无关，如交换两个变量值

int i=1,j=2,k
k=i;i=j;j=k;

2）线性阶O(n)：时间和数据规模呈线性，可以理解为n的1次方，如单循环里的操作

for(i=1;i<=n;i++)
    do();

3）k次方阶O(n^k )：执行次数是数量的k次方，如多重循环，以下为2次方阶实例

for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=n;j++)
        do();

4）指数阶O(2^n)：随着n的上升，运算次数呈指数增长

for(i=1;i<= 2^n;i++)
    do();

5）对数阶O(log2n)(以2为底n的对数，下同)：执行次数呈对数缩减，如下

for(i=1;i<= 2^n;i++)
    do();

6）线性对数阶O(log2n)：在对数阶的基础上，进行线性n倍乘积

 for(i=1;i<=2^n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)    
            do();

7）总结：
时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)(以2为底n的对数)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)(以2为底n的对数)＜Ο(n^2)<...＜Ο (n^k ) ＜Ο(2^n)＜Ο(n!)

2.2 空间复杂度

与时间复杂度类似，空间复杂度是对一个算法在运行过程中占用内存空间大小的度量。一个程序执行时除了需要存储空间和存储本身所使用的指令、常数、变量和输入数据外，还需要一些对数据进行操作的辅助空间。而空间复杂度主要指的是这部分空间的量级。

固定空间：主要包括指令空间、常量、简单变量等所占的空间，这部分空间的大小与运算的数据多少无关，属于静态空间。

可变空间：主要包括运行期间动态分配的临时空间，以及递归栈所需的空间等，这部分的空间大小与算法有很大关系。

同样，空间复杂度也用大写O表示，相比时间复杂度场景相对简单，常见级别为O(1)和O(n)，以数组逆序为例，两
种不同算法对复杂度影响如下：

1）O(1)：常数阶，所占空间和数据量大小无关。

//定义前后指针，和一个临时变量，往中间移动
//无论a多大，占据的临时空间只有一个temp
int[] a=1,2,3,4,5;
int i=0,j=a.length‐1;
while (i<=j)
    int temp = a[i];
    a[i]=a[j];
    a[j]=temp;
    i++;
    j‐‐;

2）O(n)：线性阶，与数据量大小呈线性关系

//定义一个和a同等大小的数组b，与运算量a的大小呈线性关系
//给b赋值时，倒序取a
int[] a=1,2,3,4,5;
int[] b=new int[a.length];
for (int i = 0; i < a.length; i++) 
    b[i]=a[a.length‐1‐i];

2.3 类比

对于一个算法，其时间复杂度和空间复杂度往往是相互影响的。时间复杂度低可能借助占用大的存储空间来弥补，反之，某个算法所占据空间小，那么可能就需要占用更多的运算时间。两者往往需要达到一种权衡。

在特定环境下的业务，还需要综合考虑算法的各项性能，如使用频率，数据量的大小，所用的开发语言，运行的机器系统等。两者兼顾权衡利弊才能设计出最适合当前场景的算法。

3 算法思想

3.1 分而治之

把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题，直到最后子问题小到可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)，大数据中的MR，现实中如汉诺塔游戏。

分治法对问题有一定的要求：
该问题缩小到一定程度后，就可以轻松解决
问题具有可拆解性，不是一团无法拆分的乱麻
拆解后的答案具有可合并性。能组装成最终结果
拆解的子问题要相互独立，互相之间不存在或者很少有依赖关系

3.2 动态规划

基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。

与分治法最大的不同在于，分治法的思想是并发，动态规划的思想是分步。该方法经分解后得到的子问题往往不是互相独立的，其下一个子阶段的求解往往是建立在上一个子阶段的解的基础上。动态规划算法同样有一定的适用性

场景要求：
最优化解：拆解后的子阶段具备最优化解，且该最优化解与追踪答案方向一致流程向前，无后效性：上一阶段的解决方案一旦确定，状态就确定，只会影响下一步，而不会反向影响

阶段关联：
上下阶段不是独立的，上一阶段会对下一阶段的行动提供决策性指导。这不是必须的，但是如果具备该特征，动态规划算法的意义才能更大的得到体现

3.3 贪心算法

同样对问题要求作出拆解，但是每一步，以当前局部为目标，求得该局部的最优解。那么最终问题解决时，得到完整的最优解。也就是说，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择，而不去从整体最优上加以考虑。从这一角度来讲，该算法具有一定的场景局限性。

要求问题可拆解，并且拆解后每一步的状态无后效性（与动态规划算法类似）
要求问题每一步的局部最优，与整体最优解方向一致21。至少会导向正确的主方向。

3.4 回溯算法

回溯算法实际上是一个类似枚举的搜索尝试过程，在每一步的问题下，列举可能的解决方式。选择某个方案往深度探究，寻找问题的解，当发现已不满足求解条件，或深度达到一定数量时，就返回，尝试别的路径。
回溯法一般适用于比较复杂的，规模较大的问题。有“通用解题法”之称。问题的解决方案具备可列举性，数量有限界定回溯点的深度。达到一定程度后，折返