矩量母函数介绍

Posted 2022-02-11 鬼道2022

1 矩量母函数

 矩量母函数又称矩母函数（Moment Generating Function）又称动差生成函数，是一种构造函数，其定义为：

随机变量$X$是连续型随机变量时，其矩量母函数为：$$M_X(t)=\mathrm{E}(e^{tX})={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{tx}f(x)dx$$随机变量$X$是离散型随机变量时，其矩量母函数为：$$M_X(t)=\mathrm{E}(e^{tX})=\sum _{x_i}{e}^{t{x}_i}p(x_i)$$

 由泰勒级数可知$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots$$得到：$$\begin{array}{rl}{M}_X(t)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }(1+xt+\frac{x^2{t}^2}{2!}+\frac{x^3{t}^3}{3!}+\frac{x^4{t}^4}{4!}+\cdots +\frac{x^n{t}^n}{n!}+\cdots )f(x)dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx+t{\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx+\frac{t^2}{2!}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2}f(x)dx+\cdots \frac{t^n}{n!}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{n}f(x)dx+\cdots \\ & =t^0{M}_0+t^1{M}_1+\frac{t^2}{2!}{M}_2+\cdots +\frac{t^n}{n!}{M}_n+\cdots \end{array}$$其中，$M_n$即为$X$的$n$阶中心距。
 矩量母函数对$t$求$n$阶导可得 M X ( n ) ( t ) = ( t 0 M 0 ) ( n ) +